Es cierto que $F\cap \overset{\circ}{E}=\emptyset\implies F\cap \overset{\_}{E}=\emptyset$?

Question

Deje $E,F\subset \mathbb{R}^n$ donde $F$ es abierto y $E$ es arbitrario. Es cierto que: $$ F\cap \desbordado{\circ}{E}=\emptyset\implica F\cap \desbordado{\_}{E}=\emptyset $$ Intuitivamente creo que esto es cierto, pero mi intuición en abiertos y conjuntos cerrados que no ha resultado muy bueno. Cómo probar o cómo construir un contraejemplo?

Edit: ¿ $$ F\cap E=\emptyset\implica F\cap \desbordado{\_}{E}=\emptyset $$

Answer 1

No del todo, ya que la frontera de un conjunto a $S$ en un espacio topológico es precisamente $$\partial S=\bar S\setminus\mathring S\subset \bar S$$ y $\partial S\cap \mathring S=\varnothing$.

Answer 2

Más simple contraejemplo puedo pensar:

$E = \{(0, 0, \ldots, 0)\} \subseteq \mathbb{R}^n$, $F = (-1, 1)^n \subseteq \mathbb{R}^n$. A continuación,$\mathring{E} = \emptyset \implies \mathring{E}\cap F = \emptyset$, pero $\bar{E}\cap F = E\cap F = \{(0, 0, \ldots, 0)\}$.

Answer 3

Contraejemplo incluido el tema en su edición.

Deje $E$ ser abierto y no cerrado.

A continuación,$\partial E\cap E^{\circ}=\partial E\cap E=\varnothing$$\partial E\cap\overline{E}=\partial E\neq\varnothing$.

Answer 4

En un espacio métrico $(M, d)$ (y en general un espacio topológico) para cualquier subconjunto $A\subset M$ y cualquier abra $U\subset M$ tenemos:

$$U\cap \overline{A}\subseteq \overline{U\cap A} $$

Así $$U\cap A=\emptyset\Rightarrow U\cap \overline{A}=\emptyset$$