Duda en mostrar que $g=0$.e. en $[0,1]$ que $\int_p^q g(x)~d\mu =0$ racionales $p,q\in[0,1]$

Question

Podría por favor alguien que me explique por qué esta respuesta resuelve este problema

Me gustaría comentar sobre el original de la pregunta y la respuesta, pero no tengo suficiente rep para hacer eso.

gracias.

Answer 1

Definir $F(x) = \int_0^x f(t)\,dt.$ La función de $F$ es continua y cero en todos los racionales. Por lo tanto $F(x) = 0$, $0\le x \le 1.$

Answer 2

Un elemental argumento basado en el interior y exterior de la regularidad de la medida de Lebesgue muestra que cada Lebesgue medible puede ser escrito como la unión de un $G_\delta$, y un conjunto de medida cero. El argumento no hay por lo tanto muestra que $\int_E gdm = 0$ para cualquier Lebesgue medibles conjunto E. supongamos Ahora que $g \neq 0$ sobre un conjunto de medida positiva. A continuación, se sigue que cualquiera de las $g>0$ o $g<0$ sobre un conjunto de medida positiva. Considere el caso anterior: si $m(\{g>0\})>0$ desde $\{g>0\}=\cup_n \{g>\frac{1}{n}\}$ por la continuidad de la medida debe ser el caso de que $m(\{g>\frac{1}{n}\})>0$ para algunos n. Para este n, considere la posibilidad de $0=\int_{\{g>\frac{1}{n}\}} g dm > \frac{1}{n} m(\{g>\frac{1}{n}\})$ una contradicción

Por cierto, hay una mucho más clara prueba de que uno. La Diferenciación de Lebesgue Teorema dice que en cada punto de Lebesgue (que es un.e.) tenemos $g(x)$ = $\lim_{r\to 0}\frac{1}{2r} \int_{x-r}^{x+r} g(t)dt$. Tomando límites racionales extremos da ese $g(x)=0$, en todos los puntos de Lebesgue, porque todas las integrales son cero.