¿Por qué el inverso de un polinomio sigue siendo un polinomio?

Question

El cuarto párrafo del artículo de wikipedia extensión algebraica afirma que $K[a]$ es un campo, lo que significa que cada polinomio tiene un inverso. El inverso tiene que ser un polinomio sobre $K$ también. Parece que requiere $K$ para ser un dominio no integral. ¿Cómo resolvemos la confusión? ¿Cómo probamos este párrafo?

Answer 1

Polinomios sobre un campo $K$ , es decir, elementos de $K[x]$ no suelen tener (a no ser que tengan grado cero) una inversa.

$K[a]$ es un objeto diferente, es isomorfo al anillo cotizante $K[x]/(m)$ donde $m$ es el polinomio mínimo de $a$ (se puede ver esto a través del primer teorema de isomorfismo utilizando el morfismo $\varphi:K[x]\to K[a]$ que envía $\sum k_i x^i\mapsto\sum k_i a^i$ ), asumiendo $a$ vive dentro de una extensión de campo de $K$ su polinomio mínimo será irreducible, por lo que el ideal $(m)$ que genera será máxima y el cociente $K[x]/(m)$ será un campo.

Las inversiones en este campo pueden calcularse mediante el algoritmo euclidiano habitual, tomar un polinomio $f\in K[x]$ con $\gcd(f,m)=1$ entonces por el teorema de Bezout hay $h$ y $g$ tal que $fh+gm=1$ pero en el anillo de cociente $gm=0$ así que $h$ es la inversa de $f$

Answer 2

Primero, $\;f(a)\;$ es no un polinomio pero la evaluación de un polinomio en $\;a\;$ , que significa: un número.

La afirmación completa es: Si $\;K\;$ es un campo y $\;F\;$ es una extensión de $\;K\;$ y $\;a\in F\;$ es algebraico en $\;K\;$ entonces

$$K[a]:=\left\{\,f(a)\;/\;f(x)\in K[x]\,\right\}\;\;\text{is a field, which means}\;\;K[a]=K(a)$$

La prueba: como $\;a\;$ es algebraico sobre $\;K\;$ existe $\;0\not\equiv m_a(x)\in K[x]\;$ de grado mínimo s.t. $\;m_a(a)=0\;$ pero entonces..:

$$m_a(x)=\sum_{k=0}^{n-1}b_kx^k+x^n\implies b_0=-a^n-\sum_{k=1}^{n-1}b_ka^k\;\;\color{red}{(*)}$$

(...Obsérvese que la afirmación es trivial si $\;a\in K\;$ y podemos suponer que $\;b_0\neq0\;$ (¿por qué?) ...)

Sin embargo, $\;0\neq a\in F\;$ y $\;F\;$ es un campo, por lo que $\;a^{-1}\in F\;$ y luego multiplicar $\;\color{red}{(*)}\;$ por $\;a^{-1}\;$ :

$$a^{-1}=-\frac1{b_0}\left(a^{n-1}+\sum_{k=1}^{n-1}b_ka^{k-1}\right)\in K[a]$$

Deduzca ahora que $\;K(a)\subset K[a]\;$ y como la otra contención es trivial si recordamos $\;K(a)\;$ es el campo de la fracción del dominio integral $\;K[a]\;$ hemos terminado.