¿Cómo explicar este tipo de razonamiento?

Question

En primer lugar, lo siento por el vago título, pero yo no podía pensar en un título descriptivo para esta pregunta.

Me estaba enseñando algo de física para mi sobrino y, finalmente, llegamos a la fórmula $$distance = speed \times time$$ Se lo expliqué a él y él estuvo de acuerdo que la fórmula "hace sentido" de forma intuitiva.

Entonces trató de resolver el siguiente ejercicio: Si caminamos a una distancia de 6 km en 2 horas, ¿cuál es nuestra velocidad?

Él no podía resolver. Así se lo expliqué a él que él podría utilizar la fórmula anterior para deducir que $$speed = \frac{distance}{time}$$

Pero entonces él dijo: Eso no tiene sentido! Usted me dijo que $distance = speed \times time$, pero no me dio la fórmula para la velocidad.

Bueno, que me puso a pensar. Primero que yo no podía entender lo que era su duda, pero entonces por fin lo conseguí. Aquí es lo que él quiso decir:

Imagina que tienes una partícula que se mueve con velocidad constante en una línea. Si vemos que durante 10 segundos sabemos que la partícula ha viajado una distancia real con cierta velocidad fija. Sabemos que $d = s \times t$ donde $d=$distancia, $s=$de velocidad, $t=$del tiempo. De esa manera podemos saber la distancia de la partícula ha viajado en 10 segundos. Supongamos que esta fórmula es todo lo que sabemos de la física. Sé que el número de $s$ es igual a $s = \frac{d}{t}$, pero ¿cómo puedo saber que esta $s$ es la distancia recorrida por la partícula? En otras palabras, sabemos que matemáticamente $d = s \times t$ es equivalente a $s = \frac{d}{t}$, pero, ¿cómo sabemos que esta última fórmula "es válido en la física"?

Tal vez esto se parece a una física de la pregunta, pero no lo es. Entiendo que la duda es un ejemplo de la siguiente pregunta:

Imaginemos que tenemos un problema que queremos estudiar (me.e, partícula que se mueve en una línea) y podemos interpretar matemáticamente. ¿Cómo puedo saber que la matemática conclusiones a las que llegan sobre mi interpretación de que el problema en realidad refleja algo de la propiedad original de mi problema? Por ejemplo, imagina que yo estoy tratando de resolver un problema acerca de los números reales $a,b$ tal que $a^2+b^2=1$, por lo que puedo interpretar el problema sobre el par $(a,b)$ tirado en el círculo de radio $1$, a partir de ese hecho se lo puede usar las propiedades del círculo de aprender algo sobre mi problema original, pero ¿cómo puedo saber que las propiedades del círculo de reflejar las propiedades de mi problema original?

He estado haciendo este tipo de razonamiento, toda mi vida, así que no podía entender por qué alguien no lo entiendo, yo estoy acostumbrado a ella. ¿Cómo puedo explicar esto de una manera clara? Usted puede responder a esta pregunta utilizando otro ejemplo de este tipo de razonamiento, no necesariamente en este problema de física.

Gracias.

Answer 1

Su problema es que probablemente no tan filosófico como lo hacen ser. Trate de darle un ejemplo: supongamos que un automóvil viaja a 110 kilómetros en dos horas a una velocidad constante. ¿Cómo encontrar la velocidad?

Answer 2

Este es un interesante philosphical pregunta:

Imaginemos que tenemos un problema que queremos estudiar (me.e, partícula que se mueve en un línea) y podemos interpretar matemáticamente. ¿Cómo puedo saber que el matemática conclusiones a las que llegan sobre mi interpretación del problema en realidad, refleja algo de la propiedad original de mi problema?

Esta es la clásica de las matemáticas aplicadas o (en un sentido) de la física teórica. Se puede construir un modelo matemático de un sistema físico con propiedades que son físicamente (es decir, experimentalmente) correcto, hacer deducciones matemáticas, y la esperanza de que la matemática conclusiones coinciden con el mundo real por lo que puede ser comprobado por medio de un experimento. Si su modelo y sus matemáticas son lo suficientemente buenas que has hecho un trabajo útil. Si no, es hora de volver a la mesa de dibujo - mejorar el modelo o hacer mejor las matemáticas.

Pero estoy de acuerdo con algunos de los otros comentaristas que en su particular problema, el problema no es la idoneidad del modelo. Creo que es en la definición de la velocidad. Esencialmente, lo que se mide es la distancia y el tiempo. A continuación, utilice las matemáticas (es decir, de la división) para definir la (media) de la velocidad. Esto significa que la declaración de $$ s = \frac{d}{t} $$ es sólo una definición de decirle a usted cómo usar la palabra "velocidad". No es una ley de la física, ni es la consecuencia de que $$ d = s \times t . $$ Eso es sólo una tautología.

Por supuesto, cuando la velocidad no es constante (es decir, cuando la distancia medida no es proporcional a la medida del tiempo) tiene que inventar el cálculo.

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Una anécdota:

Años en la primera lección de un curso de matemáticas de la mecánica cuántica, el Profesor George Mackey comenzaron a dibujar dos grandes círculos en la pizarra, con las flechas de ida y vuelta entre ellos, todo el tiempo diciendo (pero no escribir), que uno de los círculos representa el mundo real y el otro una abstracción matemática. La flecha de una forma que va era de construcción del modelo, la otra flecha predicciones del modelo.

Más adelante en la lección que él regresó a la metáfora, volvió a señalar el dibujo en el tablero y se preguntó (sin ironía) "ahora que el círculo es el mundo real?"

Answer 3

pero, ¿cómo sabemos que esta última fórmula "es válido en la física"?

Porque la matemática es el lenguaje que utilizamos para expresar modelos de la física (o incluso social) de las situaciones. La consistente de reglas matemáticas que se han desarrollado originalmente para el modelo de "situaciones del mundo real, han demostrado dar resultados que están de acuerdo con el comportamiento del mundo real (dentro de los valores aceptables). Así que nuestra confianza ha crecido de que las reglas para la manipulación de expresiones matemáticas siempre produce resultados consistentes con el mundo real. Sin embargo, la matemática ha crecido más allá del mundo real y tan largo como lo es internamente consistente de un sistema matemático se considera correcta (por ejemplo, la no-álgebras conmutativas) incluso si las matemáticas tiene aparentemente ninguna aplicación para el "mundo real". A veces el "resumen" de las herramientas matemáticas más tarde llegan a tener las aplicaciones del mundo real, tales como la teoría de grupos aplicada a la física de partículas y muchos otros.

Actualización Estoy leyendo este accesibles ensayo por el matemático Michael Atiyah en la relación entre las matemáticas y el mundo físico.