Probar La Función Exponencial De La Desigualdad: $e^x \le \frac{1}{1-x}$

Question

Demostrar que $e^x \le \dfrac{1}{1-x}, x\lt 1.$

Me parece que si ponemos en $f(x)=e^x(1-x)$ $f(0)=1 $ $f'(x)<0, x\in(0,1]$ probar la desigualdad de la $x\in[0,1]$ pero no veo cómo probar para $x\in(-\infty,0)$. El derivado $f'(x)\gt0 $ en ese intervalo ...$f(0)=0$, además de que será suficiente para demostrar que para $x\in(-\infty,0)$?

Si eso no funciona, podríamos usar algo como valor medio el teorema de o simliar a probarlo!

Answer 1

Para 0 < x < 1,

$$e^x = \sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!} < \sum_{k=0}^\infty x^k = \frac{1}{1-x}.$$

Si $y > 0$ tenemos $e^y > 1+y$$e^{-y} < (1+y)^{-1}$. Set $x = -y < 0.$

A continuación, con $x < 0$ hemos

$$e^x < \frac{1}{1-x}$$

Answer 2

En ESTA RESPUESTA, me mostró el uso de sólo el límite de la definición de la función exponencial y la Desigualdad de Bernoulli que la función exponencial satisface la desigualdad

$$e^z\ge 1+z \tag 1$$

para $z>-1$. Establecimiento $z=-x$ $(1)$ rendimientos

$$e^{-x}\ge 1-x \tag 2$$

para $x<1$. Tomando el recíproco de la desigualdad de $(2)$, obtenemos

$$e^x\le \frac{1}{1-x}$$

para $x<1$ como iba a ser mostrado!!

Answer 3

Para $x<0$ sólo: Tenemos $1-x>0$. Por lo $e^x\leq 1/(1-x)\iff f(x)=e^x(1-x)\leq 1.$ Tenemos $f'(x)=-x e^x>0$ $f$ es estrictamente creciente. Por lo $f(x)<\lim_{y\to 0^-}f(y)=1.$