Infinito grupos cuya no-trivial subgrupos son de índice finito

Question

En este papel, es demostrado en la Proposición 10.4.3 que si $G$ es un infinito de grupo de tal forma que cada subgrupo no trivial de $G$ es de índice finito, a continuación,$G \cong \mathbb{Z}$. Los autores necesitan este hecho para probar otro teorema. Que comentario al final de la $\S 1.4$ que la prueba no es trivial y que no sé si esto era conocido previamente.

La prueba dada en el papel sin duda no parece difícil para aquellos que están familiarizados con los necesarios grupo teórico de fondo (como el teorema de Hölder-Burnside-Zassenhaus). Me preguntaba si esta proposición era conocido antes; y si es así, si tiene más fácil pruebas que utilizan menos de la maquinaria.

Answer 1

SUGERENCIAS:

1. Mostrar el grupo es finitely generado

   Cualquier elemento genera un número finito de índice subgrupo; ahora toma ese elemento, junto con un representante de cada coset.

2. Mostrar el grupo es de torsión libre

   Un elemento finito de orden generaría un no-trivial, infinito-índice de subgrupo.

3. Mostrar el grupo no trivial centro

   Considerar la intersección de todos (infinito cíclica) subgrupos generados por el (un número finito) de los generadores.

4. Mostrar el centro es cíclico

   El centro es un finitely generado abelian grupo, que tiene un subgrupo cíclico finito de índice (se acaba de tomar un subgrupo generado por cualquier elemento). Supongamos que este subgrupo de índice $n$: el mapa de $z\rightarrow z^n$ es un inyectiva homomorphism a una infinita cíclico grupo; así, el centro es infinito cíclico.

5. A la conclusión de

   Si el centro tiene el índice de $m$ en el grupo, entonces el mapa de $g\rightarrow g^m$ es un inyectiva grupo homomorphism. Como un subgrupo de la infinita cíclico grupo, él mismo es infinito cíclico.

Answer 2

Otra posibilidad es utilizar un teorema de Schur:

Teorema: Vamos a $G$ ser un grupo. Si el centro de la $Z(G)$ es un finito-índice subgrupo de $G$, entonces el colector subgrupo $D(G)$ es finito.

Este no es un resultado difícil, véase, por ejemplo, aquí una prueba basada en Dixon del libro Problemas en teoría de grupos.

Ahora, vamos a $G$ ser una infinita grupo, cuyo no-trivial subgrupos son finitos-índice. Si $g_0 \in G - \{ 1 \}$, sabemos que $\langle g_0 \rangle$ es un finito-índice subgrupo de $G$; deje $\langle g_0 \rangle, g_1 \langle g_0 \rangle, \ldots, g_r \langle g_0 \rangle$ el conjunto de la izquierda cosets (supongamos $g_i \neq 1$). A continuación, $g_0, g_1, \ldots, g_r$ generar $G$, por lo tanto $$Z(G)= \bigcap\limits_{i=0}^r C(g_i),$$ where $C(g_i)$ denotes the centraliser of $g_i$. Because $Z(G)$ is an intersection of finitely-many subgroups of finite-index, we conclude that $Z(G)$ is a finite-index subgroup. Now, Schur's theorem implies that $D(G)$ is finite. Because $G$ is infinite, this implies that $D(G)$ is trivial, ie., $G$ es abelian.

Finalmente, $G$ es un finitely generado por torsión libre de abelian grupo que es prácticamente $\mathbb{Z}$. Gracias a la clasificación de finitely generado abelian grupos, sabemos que la única posibilidad es $G \simeq \mathbb{Z}$.