La derivada de la acción funcional y la Mentira derivados

Question

En el cómputo de los "formal" derivado de la acción funcional $$\mathcal{A}\colon C^{\infty}(S^1,M) \to \mathbb{R}$$ $$x \mapsto \int_{S^1}x^* \alpha $$ en un contacto con el colector de $M$ con el formulario de contacto $\alpha$, elegimos una variación $x_s$ $x$ con variacional campo de vectores $Y$ y el objetivo de calcular $$\frac{d}{ds}\mathcal{A}(x_s).$$ En los cálculos veo, los primeros pasos son \begin{align*} \left(\frac{d}{ds}\mathcal{A}(x_s)\right)_{|_{s=0}}&=\left(\frac{d}{ds}\int_{S^1}x_s^* \alpha\right)_{|_{s=0}} \\ &= \int_{S^1} \left(\frac{\partial}{\partial s}x_s^* \alpha\right)_{|_{s=0}} \\ &\stackrel{!}{=} \int_{S^1} x^* \mathcal{L}_Y \alpha \\ &=\cdots \end{align*} y desde entonces puedo seguir. Sin embargo, no veo por qué la Mentira derivado aparece aquí. El $x_s^*$ son de pull-backs por los mapas del círculo. No veo la derivada de la extracción de un caudal en $M$, sólo el derivado de la pull-back de los mapas de $S^1 \to M$. De hecho, no veo el flujo de $Y$ aparecen.

Mi pregunta es: ¿Cómo puedo ver por qué la ecuación de $(!)$ se mantiene?

Answer 1

Después de reflexionar un rato, yo no puedo hacer sentido de la expresión $x^*(\mathcal{L}_Y \alpha)$ en general. La forma en que me las arreglé para evitar este fue buscar en el cilindro $S^1 \times (-\epsilon, \epsilon)$ sí.

Deje $H: S^1 \times (\epsilon, \epsilon) \to M$ ser la variación en la pregunta (es decir, $H(\cdot,s)=x_s$) y deje $j_s:S^1 \to S^1 \times (-\epsilon,\epsilon)$ ser la inclusión $j_s(t)=(t,s)$. Entonces $$x_s=H\circ j_s =H \circ \Phi_s\circ j_0,$$ donde $\Phi_s$ es el flujo del campo vectorial $(0,\partial/\partial s$). Por lo tanto, \begin{align*} \left.\frac{\partial }{\partial s}\right|_{s=0}x_s^*\alpha&=\left.\frac{\partial }{\partial s}\right|_{s=0}j_0^*\Phi_s^*H^*\alpha \\ &=j_0^*\mathcal{L}_{\partial/\partial s}H^*\alpha. \end{align*} Creo que el de arriba es el correcto cálculo. El objetivo de la computación en la OP es conseguir en el hecho de que $$\left.\frac{d}{ds}\right|_{s=0}\mathcal{A}(x_s)=\int_0^1d\alpha(Y,\dot{x}). $$ Ahora vemos que llegamos a este resultado final con el cálculo anterior. De hecho, \begin{align*} \left.\frac{d}{ds}\right|_{s=0}\mathcal{A}(x_s)&=\int_{S^1}j_0^*\mathcal{L}_{\partial/\partial s}H^*\alpha \\ &=\int_{S^1}j_0^*(d\iota_{\partial/\partial_s}H^*\alpha+\iota_{\partial/\partial_s}dH^*\alpha) \\ &=\int_{S^1}j_0^*\iota_{\partial/\partial_s}H^*d\alpha \\ &=\int_{S^1}j_0^*\iota_{\partial/\partial_s}d\alpha(H_*(\cdot),H_*(\cdot)) \\ &=\int_{S^1}j_0^*d\alpha\left(\frac{\partial}{\partial s}H,H_*(\cdot)\right) \\ &=\int_{S^1}d\alpha\left(Y,H_*(\cdot)\right) \\ &=\int_0^1 d\alpha\left(Y,\dot{x}\right). \end{align*}

Answer 2

Usted necesidad de utilizar el hecho de que $x_s$ $\Phi_s \circ x$ donde $\Phi_s : M\to M$ es el flujo del campo vectorial $Y$. Entonces

$$\frac{\partial}{\partial s} x_s^* \alpha \bigg|_{s=0} = \frac{\partial}{\partial s}(\Phi_s \circ x)^* \alpha \bigg|_{s=0}= \frac{\partial}{\partial s} x^* (\Phi_s^* \alpha) \bigg|_{s=0}= x^* \left(\frac{\partial}{\partial s} \Phi_s^* \alpha\bigg|_{s=0} \right)= x^* (L_Y \alpha). $$

Answer 3

No es inmediatamente claro para mí cómo interpretar la Mentira derivado $\mathcal{L}_{Y} \alpha$, ya que el $Y$ es sólo un campo vectorial a lo largo de $x$. Una manera de lidiar con esto es tirar todo a el dominio de la variación. Podemos ver la variación de $x_s$ como un mapa de $\xi: S^1 \times (-\epsilon, \epsilon) \to M$,$\xi( \cdot, s) = x_s$. En el cilindro $S^1 \times (-\epsilon, \epsilon)$ no es el campo de vectores $\frac{\partial}{\partial s}$ que los puntos a lo largo de la $(-\epsilon, \epsilon)$ dirección. Denotar por $\Phi_t$ de su flujo. Deje $i_s: S^1 \to S^1\times (-\epsilon, \epsilon)$ ser la inclusión en el nivel $s$. Luego, por supuesto,$i_s = \Phi_s \circ i_0$, e $x_s = \xi \circ i_s = \xi \circ \Phi_s \circ i_0$.

Ahora podemos calcular: \begin{align} \frac{d}{ds}\bigg|_{s=0} \, x_s^* \alpha &= \frac{d}{ds}\bigg|_{s=0} \, i_0^* \; \Phi_s^* \;\xi^* \alpha \\ &= i_0^* \;\frac{d}{ds}\bigg|_{s=0} \, \Phi_s^* \;\xi^* \alpha \\ &= i_0^* \;\mathcal{L}_{\frac{\partial}{\partial s}} \xi^*\alpha. \end{align}

Así que aquí en lugar de la (a priori), mal definidas $\mathcal{L}_Y \alpha$ tenemos la derivada de $\xi^* \alpha$ en la dirección de $\frac{\partial}{\partial s}$, lo que prácticamente significa "diferenciar $\alpha$ en la dirección transversal a la de la variación", como nos gustaría intuitivamente. A partir de ahí, el siguiente paso es el uso de Cartan de la fórmula, pero creo que esta parte averiguado.