La pregunta es la siguiente: Supongamos $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ es continua, y para todos los $x \neq 0$, $f'(x)$ existe. Si $\lim_{x \rightarrow 0} f'(x) = L$ existe, no se sigue que la $f'(0)$ existe?
Mi intuición es que esto no tiene que sostener en general. Sin embargo, sigo encontrando contador de ejemplos que $f'(0)$ existe donde $\lim_{x \rightarrow 0} f'(x) = L$ no existe, que no es, obviamente, la pregunta original.
Nota
$$\lim_{h \to 0^{+}} \left(\frac{f(h) - f(0)}{h}\right) = \lim_{h \to 0^{+}} f'(\alpha) = L$$
donde $\alpha \in (0,h)$. Para ser precisos, la hipótesis del valor medio teorema están satisfechos desde $f$ es asumido continua en $[0,h]$ y diferenciable en a $(0,h)$.
El límite anterior es necesariamente $L$, puesto que el $\alpha$ se ve obligado a $0$$h \to 0^{+}$, y sabemos $\lim_{h \to 0} f'(h) = L$. Esto puede ser formalizado con $\epsilon-\delta$ si así lo desea.
Del mismo modo, $$\lim_{h \to 0^{-}} \left(\frac{f(h) - f(0)}{h}\right) = \lim_{h \to 0^{-}} f'(\alpha) = L$$
donde $\alpha \in (h, 0)$.
Esto implica
$$\lim_{h \to 0} \left(\frac{f(h) - f(0)}{h}\right) = L$$
y por lo $f'(0)$ existe.
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