En un espacio separable de Hilbert, ¿puede escribir un operador desde$\mathcal H$ a$\mathcal H$ como una matriz finita de columna?

Question

En esta pregunta, estamos representando a un operador $T$ como una matriz con respecto a una base ortonormales $\left\{e_n : n \in \mathbb{N}\right\}$. Para ello, nos vamos a $t_{ij} = \langle T(e_j),e_i\rangle$. La pregunta que se nos pedía para mostrar que la base ortonormales puede ser elegido de tal forma que el número de no-cero entradas en cada columna es finito. Así que básicamente, esto equivale a encontrar una base ortonormales tal que $\langle T(e_j),e_i\rangle$ $0$ para todos, pero un número finito de elementos de la base.

No estoy del todo seguro de cómo empezar para esta pregunta. Mi enfoque fue, primero, encontrar una base para $l^2(\mathbb{N})$ y, a continuación, tal vez de usar el isomorfismo entre el$\mathcal H$$l^2(\mathbb{N})$, pero yo ni siquiera era capaz de llegar a ese extremo.

Answer 1

Empezar con algunas ortonormales base $(e_n)$. A continuación, forman otro ONB $\mathcal F$ por el siguiente algoritmo:

1. $\mathcal F=()$, la secuencia vacía.
2. Encontrar el más pequeño de $n$ tal que $e_n$ no está en el intervalo de $\mathcal F$. Agregar a la final de las $\mathcal F$ y se aplican de Gram-Schmidt.
3. En la secuencia finita $\mathcal F=(f_k)$, hallar la menor $k$ tal que $Tf_k$ no está en el intervalo de $\mathcal F$. Agregar $Tf_k$ a finales de $\mathcal F$ y se aplican de Gram-Schmidt. Si no hay tal $k$, omita este paso.
4. Volver al paso 2.

Bueno, esto no es técnicamente un algoritmo porque nunca termina. Pero se puede comprobar que crea un ONB con la propiedad deseada. La integridad está asegurada por el paso 2, mientras que el finito columnness viene desde el paso 3: la imagen de cada elemento de $\mathcal F$ es en el lapso de un número finito de elementos.