El valor propio de la matriz triangular de bloque con uno de la diagonal es cero

Question

Estoy atascado en encontrar los valores propios de $$ \ bar {A} = \begin{bmatrix} 0 & S\\ S^\top & A \end {bmatrix} $$ Ambos$S$ y$A$ son matrices cuadradas de la misma dimensión y son invertibles. $A$ es simétrico positivo definido.

Cualquier ayuda es apreciada. :-RE

Answer 1

Tenemos para matrices de bloque, con$A$ invertible, que$$\pmatrix{A&B\\ C&D}=\pmatrix{A&0\\ C&I}\cdot\pmatrix{I&A^{-1}B\\0&D-CA^{-1}B}.$ $ En nuestro caso, cuando$\lambda\neq 0$, obtenemos$$\det(\overline A-\lambda I_{2n})=(-\lambda)^n\det(A-\lambda I_n-S(\lambda)^{-1}I_nS^T)=\det(\lambda^2I_n-\lambda A+SS^T).$ $ Esta fórmula también es válida para$\lambda=0$.