La fracción continua de$\pi$ aún no se conoce. No pude ver la distribución de$\{\frac{n!}{2\pi}\}$ donde$\{x\}=x-\lfloor x \rfloor$. ¿Hay alguna idea de cómo encontrar dos subsecuencias convergentes con límites diferentes?
Esta pregunta ya tiene respuestas:
- Hay un límite de cos (n!)? (4 respuestas )
Respuestas
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Hurkyl
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Esta respuesta a un problema estrechamente relacionado implica que, si bien el límite casi seguramente no existe, es poco probable que el conocimiento matemático actual sea capaz de probarlo.
marty cohen
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Creo que puedo mostrar que el único límite es cero. Te voy a mostrar mis ideas y la esperanza de que podría ser útil.
Si $L = \lim_{n \to \infty} \sin(n!) $ existe, a continuación, por lo suficientemente grande como $n$, $(n+1)! \aprox n!+2k_n\pi $ donde $k_n$ es un número entero que depende de a $n$.
Entonces $k_n \approx \frac1{2\pi}((n+1)!-n!) = \frac1{2\pi}nn! $.
Del mismo modo, $k_{n+1} \approx \frac1{2\pi}((n+1)!-n!) = \frac1{2\pi}(n+1)(n+1)! $ así
$\begin{array}\\ k_{n+1}-k_n &\approx \frac1{2\pi}((n+1)(n+1)!-nn!)\\ &= \frac1{2\pi}n!((n+1)(n+1)-n)\\ &= \frac1{2\pi}n!(n^2+n+1)\\ &= \frac1{2\pi}n!(n^2+n)+\frac1{2\pi}n!\\ &= \frac1{2\pi}nn!(n+1)+\frac1{2\pi}n!\\ &\approx k_n(n+1)+\frac1{2\pi}n!\\ \end{array} $
así $\frac1{2\pi}n! \aprox k_{n+1}-(n+2)k_n $.
Por lo tanto $n!/(2\pi)$ está cerca de un entero, por lo $\sin(n!) \approx 0$.
Por lo tanto, la única posibilidad de limitar el es cero.
Si podemos elegir $n$ así que la parte fraccionaria de $\frac1{2\pi}((n+1)!-n!) \approx \pi/2 $, entonces $\sin(n!)$ y $\sin((n+1)!)$ no va a estar cerca de así que el límite no puede existir.
Este último, por supuesto, no depende de que el límite es cero.
No sé a dónde ir desde aquí, lo voy a dejar.
