Significado cuando la expectativa de un conmutador es cero

Question

Tengo claro lo que significa que el conmutador de dos operadores $[A, B]$ es cero y lo que implica. Sin embargo, ¿hay algún significado cuando la expectativa del conmutador $\langle[A, B]\rangle$ ¿es cero?

Lo sé. $\langle[H, O]\rangle = 0$ , donde $H$ es el hamiltoniano y $O$ el observable implica $\langle O \rangle$ es estacionario pero no estoy seguro del caso general para dos operadores.

Answer 1

No creo que podamos concluir nada si $\langle[A,B]\rangle=0$ si no la condición sobre las incertidumbres de la respuesta anterior: pero incluso para eso, el hecho de que en un determinado estado el producto de las incertidumbres tiene que ser mayor o igual a cero, no implica que este estado particular realice la condición con el signo igual.

Sobre los operadores o el estado, esta condición puede provenir de situaciones muy eterogéneas, así que a menos que se proporcionen más detalles no podemos sacar muchas conclusiones:

1) $[A,B]=0$ : sabemos lo que significa, $A$ y $B$ son observables compatibles (he supuesto que son hermitianos, ¿me equivoco?) y se puede encontrar una base propia común; por otro lado, $|\psi\rangle$ puede ser cualquier cosa;

2) $[A,B]\neq0$ , $[A,B]|\psi\rangle=0$ Esto, por ejemplo, podría ocurrir en aquellos casos peculiares en los que $A$ y $B$ no se desplazan pero $|\psi\rangle$ sigue siendo un estado propio simultáneo de ambos;

( ejemplo el estado propio de $\vec L^2$ , $L_z$ para $l=0$ , $|l,l_z\rangle=|0,0\rangle$ por la simetría rotacional de la situación, es un estado propio simultáneo también de $L_x$ y $L_y$ con valor propio 0, aunque obviamente $[L_z,L_{x/y}]\neq0$ )

3) $[A,B]\neq0$ , $[A,B]|\psi\rangle\neq0$ : en este caso la única posibilidad de tener $\langle[A,B]\rangle=0$ es que el vector $[A,B]|\psi\rangle$ es ortogonal al vector $|\psi\rangle$ .

Esto a su vez significa que $|\psi\rangle$ no es un estado propio de $(AB-BA)$ por lo que no es un estado propio simultáneo de $A$ y $B$ .

Answer 2

(1) El Ecuación de movimiento de Heisenberg nos dice que la evolución temporal del valor de la expectativa de un operador $A$ viene dada por

$$ {\frac {d}{dt}} \langle A(t) \rangle={\frac {i}{\hbar }} \langle [H,A(t)] \rangle. $$

donde he asumido que no hay dependencia temporal explícita en el operador. Como puede ver, si $A$ conmuta con el Hamiltoniano, esto nos dice que

$$\frac {d}{dt} \langle A(t) \rangle = 0 $$

Esto significa que nuestro observable $A$ corresponde a un cantidad conservada .

(2) El relación de incertidumbre de Heisenberg generalizada afirma que

$${\displaystyle \sigma _{A}\sigma _{B}\geq \left|{\frac {1}{2i}}\langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle \right|={\frac {1}{2}}\left|\langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle \right|} $$

Así que si $B$ es, digamos$ el hamiltoniano tenemos que

$${\displaystyle \sigma _{O}\sigma _{H}\geq \left|{\frac {1}{2i}}\langle [{\hat {O}},{\hat {H}}]\rangle \right| } $$

Ahora, si este es cero, esto significa que existe una base propia común en la que ambos $\hat{O}$ y $\hat{H}$ son diagonales. Es decir, son observables conmutables y pueden tanto simultáneamente se puede medir con una precisión arbitraria.

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Así que supongo que la moraleja de la historia es que Heisenberg realmente sabía lo que hacía con los valores de expectativa de los conmutadores.