Resolviendo para$x$ en$\sin^{-1}(2x) + \sin^{-1}(3x) = \frac \pi 4$

Question

Dada una ecuación: $$\sin^{-1}(2x) + \sin^{-1}(3x) = \frac \pi 4

¿Cómo encuentro $x$ ?

Intenté resolver diferenciando ambos lados, pero obtengo $x=0$ .

¿Cómo lo resuelves, puramente utilizando técnicas trigonométricas?

Answer 1

Hay una identidad útil que podemos usar en este caso:

$\arcsin{x}+\arcsin{y}=\arcsin{(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2})}$

Desde aquí podemos sustituir:

$\arcsin{(2x\sqrt{1-9x^2}+3x\sqrt{1-4x^2})}=\frac{\pi}{4}$

Entonces nos quedamos con:

$2x\sqrt{1-9x^2}+3x\sqrt{1-4x^2}=\sin{\frac{\pi}{4}}$

Desde aquí, puedes resolver para $x$ .

Answer 2

Deje $\theta_1 = \sin^{-1}(2x)$ , $\theta_2 = \sin^{-1}(3x)$ . Luego, $$\sin(\theta_1+\theta_2) = \sin(\theta_1)\cos(\theta_2)+\sin(\theta_2)\cos(\theta_1) = \sin(\pi/4) = 1/\sqrt{2} $$2x\sqrt{1-9x^2}+3x\sqrt{1-4x^2} = \frac{1}{\sqrt{2}}. Pero no sé cómo resolvería esta última ecuación.

Answer 3

Voy a derivar la función general para $\arcsin x$ luego ir de allí.

Recordemos que $$\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$$ Así que si $y= \arcsin x$, a continuación, $$2ix=e^{iy}-e^{-iy}$$ Dejando $u=e^{iy}$, tenemos $$2ix=\frac{u^2-1}{u}$$ $$u^2-2ixu-1=0$$ El uso de la fórmula cuadrática para encontrar que $$u=ix+\sqrt{1-x^2}$$ Así $$e^{iy}=ix+\sqrt{1-x^2}$$ $$iy=\ln\big[ix+\sqrt{1-x^2}\big]$$ $$\arcsin x=-i\ln\big[ix+\sqrt{1-x^2}\big]$$ Así que nos fijamos en la ecuación: $$\arcsin 2x+\arcsin3x=\frac\pi4$$ $$-i\ln\big[2ix+\sqrt{1-4x^2}\big]-i\ln\big[3ix+\sqrt{1-9x^2}\big]=\frac\pi4$$ $$\ln\big[2ix+\sqrt{1-4x^2}\big]+\ln\big[3ix+\sqrt{1-9x^2}\big]=\frac{i\pi}4$$ El uso de la propiedad $\ln(ab)=\ln a+\ln b$ vemos que $$\ln\bigg[\big(2ix+\sqrt{1-4x^2}\big)\big(3ix+\sqrt{1-9x^2}\big)\bigg]=\frac{i\pi}4$$ Tomando $\exp$ en ambos lados, $$\big(2ix+\sqrt{1-4x^2}\big)\big(3ix+\sqrt{1-9x^2}\big)=e^{i\pi/4}$$ El uso de la fórmula $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$ a ver que $$\big(2ix+\sqrt{1-4x^2}\big)\big(3ix+\sqrt{1-9x^2}\big)=\frac{1+i}{\sqrt2}$$ y en este punto he utilizado Wolfram|Alpha para ver que $$x=\sqrt{\frac{13}{194}-\frac{3\sqrt2}{97}}$$ Voy a actualizar mi respuesta una vez que averiguar cómo este resultado se encuentra

---

Editar:

Expandir el producto en el lado Izquierdo, luego multiplicando ambos lados por $-i$, tenemos $$x\bigg(2\sqrt{1-9x^2}+3\sqrt{1-4x^2}\bigg)+6ix^2-i\sqrt{(1-4x^2)(1-9x^2)}=\frac{1-i}{\sqrt{2}}$$ Hemos establecido las partes reales de cada lado de la igualdad entre ellas: $$x\bigg(2\sqrt{1-9x^2}+3\sqrt{1-4x^2}\bigg)=\frac1{\sqrt2}$$ Que @ClaudeLeibovici mostraron una reducción a $$97y^2-13y+\frac14=0$$ con $y=x^2$. El uso de la fórmula cuadrática, podemos ver que $$y=\frac{13+\sqrt{72}}{194}$$ lo que se reduce a $$y=\frac{13}{194}+\frac{3\sqrt2}{97}$$ Tomando $\sqrt{\cdot}$ en ambos lados, $$x=\sqrt{\frac{13}{194}-\frac{3\sqrt2}{97}}$$

Answer 4

O de esta manera usando

• $\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$
• $\cos a = \sqrt{1-\sin^2 a}$

\begin{eqnarray*} \sin^{-1}(2x) + \sin^{-1}(3x) & = & \frac \pi 4 \\ \sqrt{1-4x^2}\sqrt{1-9x^2} - 6x^2 & = & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ (1-4x^2)(1-9x^2) &=& \left( \frac{\sqrt{2}}{2} +6x^2 \right)^2 \\ \frac{1}{2} & = & (6\sqrt{2}+13)x^2 \\ \end {eqnarray *} La solución positiva da: $$\boxed{x = \frac{1}{\sqrt{2(6\sqrt{2}+13)}}}

Answer 5

Necesitamos $-1\le3x\le1$

Pero si $x\le0,$ del lado izquierdo $\le0$

Ahora $3x=\sin(\pi/4-\arcsin(2x))$

$3\sqrt2x=\sqrt{1-(2x)^2}-2x$

$\sqrt{1-4x^2}=x(3\sqrt2+2)$

Cuadrados ambos lados