Maximizando$f$ en$\mathbb{R}^3$

Question

Encontrar el dominio y el valor máximo de la función $$f(x,y,z)=\frac{x+2y+3z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$$ puede llegar a alcanzar en su dominio.

He encontrado que el dominio de la función a $\mathbb{R^3\backslash\mathbf{0}}$. Para maximizar me diferenciadas en términos de $x,y,z$tener $$f_x=\frac{-2 x y-3 x z+y^2+z^2}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^{3/2}},\quad f_y=\frac{2 x^2-x y+z (2 z-3 y)}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^{3/2}},\quad f_z=\frac{3 \left(x^2+y^2\right)-z (x+2 y)}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^{3/2}}$$ Pero para resolver el sistema de $f_x=0,f_y=0$ e $f_z=0$ es bastante duro. ¿Cuáles son los valores plausibles de $x,y,z$?

Answer 1

Considere los vectores $\,\vec{u}=(x,y,z)\,$ e $\,\vec{v}=(1,2,3)$, entonces podemos escribir $$\frac{x+2y+3z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=\frac{\vec{u}\boldsymbol{\cdot}\vec{v}}{\Vert\vec{u}\Vert}=\frac{\Vert\vec{u}\Vert\Vert\vec{v}\Vert\cos(\alpha)}{\Vert\vec{u}\Vert}=\Vert\vec{v}\Vert\cos(\alpha)=\sqrt{1^2+2^2+3^2}\cos(\alpha )=\sqrt{14}\cos(\alpha)$$

Cuando es la última expresión maximizado? Cuando $\alpha=k\pi,\,k\in\mathbb{Z}$, por lo tanto el valor máximo de $f$ es $\sqrt{14}$.

Answer 2

Por CS $$(x^2+y^2+z^2)(1^2+2^2+3^2)\geq(x+2y+3z)^2,$ $, que otorga $$-\sqrt{14}\leq\frac{x+2y+3z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\leq\sqrt{14}.$ $ La igualdad se produce para $(x,y,z)||(1,2,3),$, lo que indica que obtuvimos un valor máximo y el valor mínimo.

Answer 3

Considerar la línea de $x = t, y = 2t, z = 3t$

A lo largo de esta línea.

$f(t,2t,3t) = \frac {14 t}{\sqrt{14 t^2}} = \sqrt {14}$

vamos a encontrar algunos de los vectores ortogonales.

$\mathbf u = (1,2,3)\\ \mathbf v = (2,-1,0)\\ \mathbf w = (0,3,-2)$

Cualquier punto en $\mathbb R^3$ es una cierta combinación lineal

$c_1\mathbf u + c_2\mathbf v+ c_3\mathbf w$

$f(c_1\mathbf u + c_2\mathbf v+ c_3\mathbf w) = \frac {14c_1}{\sqrt{14c_1^2 + 5c_2^2 + 13c_3^2}}\\ |f|\le \sqrt 14 \text{ sgn}(c_1)$