Cálculo del laplaciano en coordenadas polares

Question

Se han hecho preguntas similares en este sitio, pero ninguna parecía ayudarme. Me piden que calcule el laplaciano $$\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}$$ en términos de coordenadas polares.

Lo hice, pero no entiendo por qué lo que hice es correcto, y no entiendo para nada la forma más "bruta" de hacerlo.

Esto es lo que hice:

He calculado $\frac{\partial}{\partial r}$ y $\frac{\partial}{\partial \theta}$ en términos de $r,$ $\theta,$ $\frac{\partial}{\partial x}$ y $\frac{\partial}{\partial y}.$ Esto me dio un sistema de ecuaciones lineales que escribí como $$\begin{pmatrix}\frac{\partial}{\partial r} \\\frac{\partial}{\partial \theta}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\cos\theta & \sin\theta \\\ -r\sin\theta & r\cos\theta \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{\partial}{\partial x} \\\frac{\partial}{\partial y}\end{pmatrix}.$$ He invertido para obtener $$\begin{pmatrix}\frac{\partial}{\partial x} \\\frac{\partial}{\partial y}\end{pmatrix} = \frac{1}{r}\begin{pmatrix}r\cos\theta & -\sin\theta \\\ r\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{\partial}{\partial r} \\\frac{\partial}{\partial \theta}\end{pmatrix},$$ y luego simplemente escribí \begin{align}\frac{\partial^2}{\partial x^2} &= \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial}{\partial x}\right)\\ &= \left(\cos\theta \frac{\partial}{\partial r}-\frac{1}{r}\sin\theta\frac{\partial}{\partial \theta}\right)\left(\cos\theta \frac{\partial}{\partial r}-\frac{1}{r}\sin\theta\frac{\partial}{\partial \theta}\right)\\ &= \cos\theta\frac{\partial}{\partial r}\left(\cos\theta \frac{\partial}{\partial r}-\frac{1}{r}\sin\theta\frac{\partial}{\partial \theta}\right) -\frac{1}{r}\sin\theta\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\cos\theta \frac{\partial}{\partial r}-\frac{1}{r}\sin\theta\frac{\partial}{\partial \theta}\right)\\ &= \cos^2\theta \frac{\partial^2}{\partial r^2} - \frac{2}{r}\sin\theta\cos\theta\frac{\partial^2}{\partial r \partial\theta} +\frac{1}{r^2}\sin^2\theta\frac{\partial^2}{\partial \theta^2}.\end{align} Yo también tengo $$\frac{\partial^2}{\partial y^2} = \sin^2\theta \frac{\partial^2}{\partial r^2} + \frac{2}{r}\sin\theta\cos\theta\frac{\partial^2}{\partial r \partial\theta} +\frac{1}{r^2}\cos^2\theta\frac{\partial^2}{\partial \theta^2}.$$ Sumando los dos resultados se obtiene $$\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2} = \frac{\partial^2}{\partial r^2}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial \theta^2},$$ lo que Spivak dice que es correcto.

Explícitamente, estas son mis preguntas:

1. En mi solución, cuando encontré $\frac{\partial^2}{\partial x^2},$ Simplemente he "multiplicado" las expresiones en la segunda línea de la gran ecuación alineada (tratando la multiplicación de los operadores parciales como composición). ¿Por qué se me permite hacer esto? ¿Por qué la expresión de la izquierda no actuar en la cosa de la derecha, obligándome a hacer la regla del producto y otras tonterías para obtener la respuesta?

2. Mi idea original era calcular el laplaciano utilizando la regla de la cadena. Es decir, escribir $\frac{\partial}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial r} \frac{\partial r}{\partial x}$ y calcular $\frac{\partial^2}{\partial x^2}$ de allí. Mi problema con esto es que sigo confundiéndome sobre en qué variables debo escribir todo, y cómo los operadores de derivadas parciales actúan sobre estas otras expresiones. Por ejemplo, calculo $\frac{\partial}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial r} \frac{\partial r}{\partial x} + \frac{\partial}{\partial \theta} \frac{\partial \theta}{\partial x} = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\frac{\partial}{\partial r} - \frac{y}{x^2+y^2} \frac{\partial}{\partial \theta},$ pero entonces no sé a dónde ir. Se agradecería mucho la ayuda para entender este método.

Si algo no está claro, hágamelo saber y haré las modificaciones necesarias.

Answer 1

Simplemente he "multiplicado"

Imagine una función $f(x, y) = f(x(r,\theta),y(r,\theta)) = f(r,\theta)$ , acabas de encontrar

$$ \frac{\partial f(x, y)}{\partial x} = \cos\theta \frac{\partial f(r,\theta)}{\partial r} - \frac{1}{r}\sin\theta \frac{\partial f(r,\theta)}{\partial \theta} \equiv h $$

Entonces aplícalo de nuevo

\begin{eqnarray} \frac{\partial^2 f(x, y)}{\partial x^2} &=&\frac{\partial h}{\partial x} \\ &=& \cos\theta \frac{\partial h(r,\theta)}{\partial r} - \frac{1}{r}\sin\theta \frac{\partial h(r,\theta)}{\partial \theta} \\ &=& \cos\theta \frac{\partial}{\partial r}\left[\cos\theta \frac{\partial f(r,\theta)}{\partial r} - \frac{1}{r}\sin\theta \frac{\partial f(r,\theta)}{\partial \theta}\right] - \frac{1}{r}\sin\theta\left[\cos\theta \frac{\partial f(r,\theta)}{\partial r} - \frac{1}{r}\sin\theta \frac{\partial f(r,\theta)}{\partial \theta} \right] \end{eqnarray}

Que cuando lo piensas es lo mismo que hiciste tú. Así que en realidad multiplicar es la forma correcta de hacerlo. En general esto es cierto para cualquier operador, si $T$ es un operador, entonces

$$ T^2f = T(Tf) $$

Mi idea original era simplemente calcular el laplaciano utilizando la regla de la cadena

Es completamente equivalente a lo que hiciste en el primer paso. Aquí está el primer término

\begin{eqnarray} \frac{\partial f}{\partial x} &=& \frac{\partial r}{\partial x}\frac{\partial f}{\partial r} + \frac{\partial \theta}{\partial x}\frac{\partial f}{\partial \theta} \\ &=& \frac{x}{r}\frac{\partial f}{\partial r} - \frac{y}{r^2}\frac{\partial f}{\partial \theta} \\ &=& \cos\theta \frac{\partial f}{\partial r} - \frac{\sin\theta}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta} \end{eqnarray}

y ahora aplicar la misma lógica que antes