El funtor olvidadizo de una categoría de elementos crea estrictamente límites y colimits conectados

Question

Este será un ejercicio (3.4.iii) de el libro de la Categoría de "Teoría del Contexto" por Emily Riehl.

En primer lugar, permítanme corregir la notación.

Deje $F\colon\mathsf{C}\to\mathsf{Set}$ ser un conjunto de valores functor. Su categoría de elementos $\int F$ ha pares de $(X,a)$ donde $a \in F(X)$ como objetos y morfismos $f\colon X\to Y$ (más precisamente, triples $((X,a),(Y,b),f\colon X\to Y)$), de modo que $F(f)(a) = b$ como morfismos entre los objetos $(X,a)$ e $(Y,b)$. Hay un canónica olvidadizo functor $\prod\colon\int F\to \mathsf{C}$ , el cual se asigna un par de $(X,a)$ a $X$ e $f$ a sí mismo.

Un functor $F\colon\mathsf{C}\to\mathsf{D}$ estrictamente crea (co)límites si por cualquier diagrama de $D\colon\mathsf{J}\to\mathsf{C}$ y para cualquier (co)límite (co)cono $\lambda\colon A\Rightarrow FD$ no hay una única (co)cono $\mu\colon X\Rightarrow D$ , de modo que la imagen de $\mu$ bajo $F$ es $\lambda$ y, por otra parte, esta $\mu$ también es un (co)límite (co)del cono.

Una categoría $\mathsf{C}$ está conectado si por alguna de sus objetos de $X$ e $Y$ hay una secuencia finita $X_1,...,X_n$ de los objetos de $\mathsf{C}$ , de modo que $X_1 = X$, $X_n = Y$ y para cualquier $1 \leq k < n$ al menos uno de los conjuntos de $\mathsf{Hom_C}(X_k,X_{k+1})$ e $\mathsf{Hom_C}(X_{k+1},X_k)$ es no vacío.

Anterior en el libro se ha establecido que el olvidadizo functor $\prod\colon\int\mathsf{Hom_C}(X,-)\to\mathsf{C}$ estrictamente crea límites y conectado colimits. El ejercicio en cuestión se considera que la generalización de este resultado. Tenga en cuenta que el hecho de $\prod\colon\int\mathsf{Hom_C}(X,-)\to\mathsf{C}$ ha sido demostrado en el párrafo anterior, y este párrafo con el ejercicio 3.4.iii es principalmente acerca de "representable de la naturaleza de los límites y colimits", que, a su vez, es principalmente acerca de cómo Yoneda incrustaciones $\mathsf{C}\to\mathsf{Set^{C^{op}}}$ preservar y reflejar los límites y cómo hom-functors también preservar los límites. He asumido que este debe desempeñar un papel en una prueba de este ejercicio. Aquí está:

Demostrar que para cualquier $F\colon\mathsf{C}\to\mathsf{Set}$, el olvidadizo functor $\prod\colon\int F\to \mathsf{C}$ estrictamente crea todos los límites que $\mathsf{C}$ admite y $F$ conserva, y estrictamente crea todos conectados colimits que $\mathsf{C}$ admite.

Para ser honesto, tengo cero ideas con respecto a este ejercicio (el que me había llevado a ninguna parte).

Answer 1

Aquí es el de la construcción en el caso de los límites.

Un diagrama de $(X, a) : \mathsf{J} \to \int F$ consiste en un diagrama de $X = \Pi \cdot (X, a) : \mathsf{J} \to \mathsf{C}$ junto con un cono de $a : * \to F\cdot X$ en $\mathsf{Set}$. Supongamos que $X : \mathsf{J} \to \int F \to \mathsf{C}$ tiene un límite de cono $\eta : \lim X \to X$ y que $F(\eta) : F(\lim X) \to F \cdot X$ es también un límite de cono.

Vamos a demostrar que si $\eta$ tiene un ascensor y luego el ascensor es único. Supongamos que $\eta$ ascensores de un cono $\tilde{\eta} : z \to (X, a)$. Desde $\Pi$ actúa como la identidad sobre las flechas debemos tener $\tilde{\eta}_{j} = \eta_{j}$ para todos los $j$ en $\mathsf{J}$. Así que debemos tener $\Pi(z) = \lim X$, lo que significa que $z$ es de la forma $(\lim X, x)$, donde $x$ es un elemento de $F(\lim X)$. Desde $\tilde{\eta} : (\lim X, x) \to (X, a)$ es un cono en $\int F$ debemos tener $F(\eta_{j})(x) = a_{j}$ para todos los $j \in \mathsf{J}$. Y desde $F(\eta)$ es un límite de cono hay un único elemento $x$ de $F(\lim X)$ la satisfacción de estas ecuaciones, por lo que hay un ascensor de $\eta : \lim X \to X$ a un cono en $\int F$.

Así que ahora a demostrar que $\Pi$ estrictamente crea límites sólo tenemos que verificar que esta $\tilde{\eta} : (\lim X, x) \to (X, a)$ es un cono en $\int F$ y que está limitando. Yo voy a dejar a usted para hacer la comprobación.