La prueba de que$\sin {x}$ es infinitamente continuamente diferenciable sobre$[m,n]$

Question

Estoy tratando de demostrar que $\sin {x}$ es infinitamente continuamente diferenciable sobre $[m,n]$ donde $m$ e $n$ son números reales. Aquí está mi intento de hacerlo. Es mi prueba completa? Si no, ¿qué puedo hacer para mejorar? Gracias de antemano.

Desde entonces,

$\frac{d}{dx}\sin{x} = \cos{x}$,

$\frac{d^2}{dx^2}\sin{x} = -\sin{x}$,

$\frac{d^3}{dx^3}\sin{x} = -\cos{x}$,

y

$\frac{d^4}{dx^4}\sin{x} = \sin{x}$,

los derivados de la $\sin{x}$, son periódicas. Desde los cuatro primeros derivados de $\sin{x}$ son continuas a lo largo de $[m,n]$ donde $m$ e $n$ son números reales, $\sin{x}$ debe ser diferenciable una cantidad infinita de veces más de $[m,n]$.

Answer 1

Una manera más formal para mostrar esto es por inducción. Sabemos que $f(x) = \sin(x)$ es continua. También, $f'(x) = \cos(x)$ es continua. Ahora, suponga que $f^{(2n-1)}(x) = (-1)^{n+1}\cos(x)$ para todos los $n = 1,2,...$. A continuación, $f^{(2(n+1)-1)}(x) = (-1)^{n+1}*(-\cos(x)) = (-1)^{(n+1)+1}\cos(x)$, que es continuo. Esto demuestra que todos los impares son derivados de continuo. Incluso los derivados, que acaba de tomar cualquier extraño derivados y diferenciar de una vez: $\frac{d}{dx}f^{(2n-1)}(x) = (-1)^{n+1}*(-\sin(x)) = (-1)^{n+2}\sin(x)$, que también es continua. Así que, para todos los $n \geq 0$, $f^{(n)}(x)$ es continua.