Evaluar

Question

Estoy tratando de evaluar esta integral, pero estoy teniendo un montón de problemas con las normas de método.

$$\int_0^1 \log \left( \frac{x^2+\sqrt{3}x+1}{x^2-\sqrt{3}x+1} \right) \frac{dx}{x} $$

He tratado de integración por partes, la expansión de taylor de la $\log$ función y algunas de sustitución.

Wolfram dice que el resultado es $\frac{\pi^2}{3}$. Creo que dividir la integral en cuatro partes de factorización de que el argumento del logaritmo de los números complejos, de todos modos parece demasiado largo como el enfoque. ¿Tiene alguna sugerencia?

También he notado que la función es aún así también podemos escribir la integral como $$ \frac{1}{2} \int_{-1}^1 \log \left( \frac{x^2+\sqrt{3}x+1}{x^2-\sqrt{3}x+1} \right) \frac{dx}{x} $$

Answer 1

Dejemos que $$I(\theta)=\int_0^1\frac{\ln(x^2+2x\cos\theta+1)}xdx,$ $ lo diferencie da $$ I '(\ theta) = \ int_0 ^ 1- \ frac {2 \ sin \ theta} {1 + 2x \ cos \ theta + x ^ 2} dx \\ = - \ theta $$ (desde $\theta\in(-\pi,\pi)$ )
La necesidad integral de encontrar es $$I\left(\frac16\pi\right)-I\left(\frac56\pi\right)=\int_{5/6\pi}^{1/6\pi}-\theta d\theta=\frac13\pi^2$ $

Answer 2

Consideremos que para cualquier $\alpha\in S^1$

$$ \int_{0}^{1}\frac{\log(1-\alpha x)}{x}\,dx = -\sum_{n\geq 1}\int_{0}^{1}\frac{\alpha^n x^{n}}{nx}\,dx=-\sum_{n\geq 1}\frac{\alpha^n}{n^2}=-\text{Li}_2(\alpha) $$ y por establecimiento $\zeta=\exp\left(\frac{2\pi i}{12}\right)$ hemos

$$ \int_{0}^{1}\log\left(\frac{1-\sqrt{3}x+x^2}{1+\sqrt{3}x+x^2}\right)\,\frac{dx}{x}=\int_{0}^{1}\left[\log(1-\zeta x)+\log(1-\zeta^{11} x)-\log(1-\zeta^5 x)-\log(1-\zeta^7 x)\right]\frac{dx}{x} $$ de ahí su integral es igual a $$ \text{Li}_2(\zeta)+\text{Li}_2(\zeta^{11})-\text{Li}_2(\zeta^5)-\text{Li}_2(\zeta^7)=2\text{Re}\,\text{Li}_2(\zeta)-2\text{Re}\,\text{Li}_2(\zeta^5). $$ Último truco: $\text{Re}\,\text{Li}_2(e^{i\theta})$ es una función primaria, ya que es la formal primitivo de la onda de diente de sierra $\sum_{n\geq 1}\frac{\sin(nx)}{n}$ (piecewise linear), por lo tanto, un periódico y por tramos función parabólica. Poner todo junto, el resultado es, simplemente, $2\zeta(2)=\frac{\pi^2}{3}$.