Deje que $ \emptyset \neq U \subset \mathbb{C} $ sea un conjunto conectado abierto acotado y deje que $ f_1, \dots, f_n $ sea analítico en $ \overline{U} $ . Demuestre que $$ \max_{z \in \overline{U}} \sum_{j=1}^n |f_j(z) | = \max_{z \in \partial U} \sum_{j=1}^n |f_j(z) |. $ $ Claramente tenemos " $\geq$ " pero no sé cómo reducir el caso $ n = 1 $ para usar el principio de módulo máximo habitual. Se agradece la ayuda.
Respuesta
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Voy a dar una prueba de $n=2$ porque la tengo escrito ya. El mismo argumento funciona para cualquier $n$: dado $f$ e $g$ analítica tal que el máximo de $|f|+|g|$ a $\overline {U}$ se alcanza en un punto interior $a$ tenemos $\left\vert f(a)\right\vert +\left\vert g(a)\right\vert \geq \left\vert f(z)\right\vert +\left\vert g(z)\right\vert $ $\forall z\in \Omega .$ Reemplace $f$ por $e^{is}f$ e $g$ por $e^{it}g$ donde $s$ e $t$ son elegidos tal que $e^{is}f(a)$ e $e^{it}g(a)$ ambos pertenecen a $[0,\infty ).$Este reduce la prueba para el caso cuando $f(a)$ e $g(a)$ a que ambos pertenecen a la $% [0,\infty ).$ We now have $$f(a)+g(a)\geq \left\vert f(z)\right\vert +\left\vert g(z)\right\vert \geq |f(z)+g(z)|$$ Maximum Modulus principle applied to $f+g$ shows that $f+g$es una constante. Ahora, $$f(a)+g(a)\geq \left\vert f(z)\right\vert +\left\vert g(z)\right\vert \geq \Re f(z)+\Re g(z)=\Re(f(z)+g(z))$$ $$=\Re (f(a)+g(a))$$ which implies that equality holds throughout. In particular $% \left\vert f(z)\right\vert =\Re(f(z))$ and $\left\vert g(z)\right\vert =\Re(g(z))$ for all z]. Hence $f$ and $g$ son dos constantes (debido a su imaginaria desaparecer) en cuyo caso no se observa a probar.
