¿Cómo se comportan las raíces de forma asintótica?

Question

Deje $g, h \in \mathbb C[x]$y $$f(x, a) = (x-x_0)^m g(x) + h(x) (a-a_0),$$ donde $m \ge 2$, $a \in \mathbb R$ e $a_0$ fijo es un número real. Supongamos $g(x_0) \neq 0$ e $h(x_0) \neq 0$. Por esta configuración, debemos ser capaces de tener $n$ funciones continuas $\alpha_1, \dots, \alpha_n: \mathbb R \to \mathbb C$ tal que para cada una de las $t \in \mathbb R$, $\alpha_1(t), \dots, \alpha_n(t)$ mandantes de los ceros de $f(x, t)$. Si $a \to a_0$, entonces debemos tener $m$ funciones converge a $x_0$. Me pregunto cómo estas funciones se comportan. Más específicamente, me parece: podemos establecer $$(x-x_0)^m g(x) + h(x)(a-a_0) = 0.$$ Como $a \to a_0$, $g(x) \to g(x_0)$ e $h(x) \to h(x_0)$. Si se me permite a lado de onda un poco, a continuación, en un barrio de $a_0$ $$\alpha_j(a) \approx x_0 + \left( \frac{-h(x_0)}{g(x_0)} (a-a_0) \right)^{1/m} \omega_j^m, \text{ for } j=1, \dots, m,$$ where we assume $\alpha_1, \dots, \alpha_m$ are functions converging to $x_0$ and $\omega_j^m$ are solutions to $x^m =1$. Is there a way to a rigorous statement on the asymptotic behavior of $\alpha_j$'s?

Answer 1

Deje $o(|u|^r)$ ($r\ge0$) se refieren a la clase (y también un elemento de ella) de las funciones de $q(u)\in\mathbb{C}$ tal que $\lim_{|u|\to 0^+} \frac{|q(u)|}{|u|^r} = 0$, es decir, para todos los $\epsilon>0$ existe $u^*>0$ tal que $|q(a)|<\epsilon |u|^r$ para todos los $|u|\in (0,u^*)$. Vamos a mostrar que el $$\alpha_j(a) = x_0 +\left(-(a-a_0)\frac{h(x_0)}{g(x_0)}\right)^{\frac{1}{m}}\omega^j + o(|a-a_0|^{\frac{1}{m}})$$ where $\omega = e^{\frac{2\pi i}{m}}$ is the primitive $m$-th root of unity. We denote by $z^{\frac{1}{m}}$ a fixed root $w$ of $w^m=z$, which is arbitrarily chosen. Since the roots differ by $\omega^r$ multiplicatively, the choice of a particular $(-(a-a_0)\frac{h(x_0)}{g(x_0)})^{\frac{1}{m}}$ does not affect validity of the statement. In what follows, $c^{\frac{1}{m}}$ is also understood in the same way unless $c\ge 0$ (siempre que la validez no es afectada.)

Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que la $x_0 = a_0 = 0$ e $g(0)=1$. Cambiando $-a\to a$, la ecuación se convierte en $$x^m g(x) = a\cdot h(x).\la etiqueta{*}$$ Assume $>0$. By the change of variable $z =\frac{x}{a^{\frac{1}{m}}}$ obtenemos la ecuación modificada: $$z^m g(a^{\frac{1}{m}}z)=h(a^{\frac{1}{m}}z).$$ Let $F_a(z) = z^m g(a^{\frac{1}{m}}z)-h(a^{\frac{1}{m}}z).$ We can see that $\lim_{a\to 0^+}F_a(z) = F_0 (z)=z^m -h(0)$ and that $F_0(z)$ has $$\zeta_j = [h(0)]^{\frac{1}{m}}\omega^j,\quad j=1,2,\ldots,m$$ como sus raíces.

Reclamo: Para todos los $\epsilon\in (0,\frac{|h(0)|^{\frac{1}{m}}}{100})$existe $a^*>0$ tal que para todos los $a\in [0,a^*)$, $F_a(z)=0$ tiene exactamente una raíz en cada una de las $B(\zeta_j,\epsilon)$.

Prueba: Supongamos $\epsilon\in (0,\frac{|h(0)|^{\frac{1}{m}}}{100})$ ser dado. Fix $j$ y consideremos un abierto balón $B_j =B(\zeta_j,\epsilon)$ centrado en $\zeta_j$. Tenga en cuenta que $B_j$ son disjuntas. Si $z\in\partial B_j$, entonces existe $\eta>0$ tal que $|z^m - h(0)|\ge \eta$ por la compacidad de $\partial B_j$. Desde $\frac{h(a^{\frac{1}{m}}z)}{g(a^{\frac{1}{m}}z)}\to h(0)$ uniformemente en $\partial B_j$, dice que $F_a(z)$ no desaparecen en $\partial B_j$ para todos los $a\in [0,a_j^*)$ para algunos $a_j^*>0$. Definir $$N(a) = \frac{1}{2\pi i}\int_{\partial B_j}\frac{F_a'(z)}{F_a(z)}dz$$ for $\[0,a_j^*)$. By Cauchy's argument principle, $N(a)$ gives the number of zeros of $F_a$ in $B_j$. By the construction, $N(a)$ is an integer-valued continuous function with $N(0)=1$. This gives $N(a) \equiv 1$. This means $F_a(z)=0$ has exactly one root in $B_j$ for all $\[0,un^*_j)$. Now, let $^* = \min_j^*_j>0$, then the claim follows.$\blacksquare$

Ahora denotar cada raíz en $B_j$ de $F_a(z)$ por $\gamma_j(a)$. Luego por la anterior afirmación se puede escribir $$\gamma_j(a) = \zeta_j+o(1).$$ Since the roots $\beta_j(un)$ of $(*)$ can be expressed as $a^{\frac{1}{m}}\gamma_j(una)$, obtenemos $$\beta_j(a) = a^{\frac{1}{m}}\zeta_j + o(|a|^{\frac{1}{m}})=\left(ah(0)\right)^{\frac{1}{m}}\omega^j + o(|a|^{\frac{1}{m}}).$$ Now, we deal with the case where $un<0$. We can modify $(*)$como $$x^m g(x) = (-a)\cdot(-h(x)).$$ By letting $b=-a>0$ and $k(x)=-h(x)$, como corolario del argumento anterior tenemos que $$\tilde{\beta}_j(b) = \left(bk(0)\right)^{\frac{1}{m}}\omega^j + o(|b|^{\frac{1}{m}})=\left(ah(0)\right)^{\frac{1}{m}}\omega^j + o(|a|^{\frac{1}{m}}).$$ Relabeling $\tilde{\beta}_j(b)$ as $\beta_j(una)$, obtenemos $$\beta_j(a) =\left(ah(0)\right)^{\frac{1}{m}}\omega^j + o(|a|^{\frac{1}{m}}).$$ for all $\in\mathbb{R}$. Now, turning back to the original equation, we finally get for all $$, $$\alpha_j(a) = x_0 +\left(-(a-a_0)\frac{h(x_0)}{g(x_0)}\right)^{\frac{1}{m}}\omega^j + o(|a-a_0|^{\frac{1}{m}}).$$ Esto da el resultado deseado.