Hay mucho más que sólo a los dos; es una forma bastante común de ejercicio/conferencia tema en un curso de análisis para demostrar que las diversas definiciones de integridad son equivalentes, mediante la construcción de un grafo dirigido de implicaciones que nos permite llegar a cualquier lugar desde cualquier lugar. Para estos dos:
(1) implica (2): Tomar una secuencia $x_n$ que es creciente y acotada arriba. Por (1), se tiene al menos un límite superior $L$. Queremos mostrar que $x_n$ converge a $L$. Desde $L$ es un límite superior, es $\ge$ cada $x_n$. Ya que es la menor cota superior, $L-\epsilon$ no es un límite superior (por un arbitrario $\epsilon>0$) - lo que significa que hay algo de $N$ tal que $x_N > L-\epsilon$. Entonces, para todos los $n>N$, $L-\epsilon < x_N \le x_n\le L$ e $|x_n-L| <\epsilon$. Esa es la definición de convergencia, y tenemos (2).
(2) implica (1): Este es más difícil - lo ideal sería tomar varios pasos a través de otras definiciones de la integridad. Aún así, podemos hacerlo en un solo paso. Para ello, se utiliza un sucesivas interseccion argumento para encontrar las secuencias convergentes a la menor cota superior de. Deje $S$ ser un conjunto no vacío de números reales acotado arriba por algunos $b$. Deje $a$ ser un elemento de $S$. Claramente, $a\le b$; si $a=b$, entonces es la menor cota superior y hemos terminado. Asumir lo contrario.
Ahora, vamos a $x_0=a,y_0=b$. Considere la posibilidad de $\frac{x_0+y_0}{2}$. Es una cota superior para $S$? Si sí, vamos a $x_1=x_0,y_1=\frac{x_0+y_0}{2}$. Si no, vamos a $x_1=\frac{x_0+y_0}{2},y_1=y_0$. Repita este proceso; a cada paso, vamos a $x_{n+1}=x_n, y_{n+1}=\frac{x_n+y_n}{2}$ si $\frac{x_n+y_n}{2}$ es un límite superior para $S$ y deje $x_{n+1}=\frac{x_n+y_n}{2},y_{n+1}=y_n$ lo contrario. La clave de la propiedad: para cada una de las $n$, $y_n$ es un límite superior para $S$ e $x_n$ no lo es.
Ahora, el $x_n$ es un aumento de la secuencia acotada arriba por $b$ e las $y_n$ son una disminución de la secuencia acotada abajo por $a$. Ambos tienen límites; deje $x=\lim_n x_n$ e $y=\lim_n y_n$. Además, $y_n-x_n=\frac{1}{2^n}(b-a)\to 0$.*
A partir de esos hechos, los límites deben ser iguales y $x=y$. Podemos afirmar que este valor común es la menor cota superior de. Es un límite superior debido a que el $y_n$ son; cualquier elemento $c\in S$ es $\le$ cada $y_n$, y por lo tanto también se $\le$ de su límite. Por otro lado, cualquier $z$ estrictamente menor que $y$ también es estrictamente menor que el de algunos $x_n$ - y desde ese $x_n$ no es un límite superior, $z$ no. Que hace que $y$ menos límite superior deseado. Hecho.
*No tome esto por sentado. Hemos citado y el de arquímedes propiedad aquí; es un estándar bajo el lema, pero tiene que ser demostrado si estás trabajando desde cero.
