Integrando la función racional multiplicando con un término polinomial de alta potencia

Question

Al evaluar la integral de la $\int \frac{x^2 + 8}{x^3 + 9x} \textrm{d}x$, WolframAlpha dio un interesante paso-por-paso sugerencia. Aquí es el método sugerido:

$$\int \frac{x^2 + 8}{x^3 + 9x} \textrm{d}x = \int \frac{x^{17} + 8x^{15}}{x^{18} + 9x^{16}} \textrm{d}x=\frac{1}{18} \int \frac{18(x^{17} + 8x^{15})}{x^{18} + 9x^{16}} \textrm{d}x$$

Deje $u = x^{18}+9x^{16} \implies \textrm{d}u=(18x^{17}+144x^{15}) \, \textrm{d}x = 18(x^{17} + 8x^{15}) \, \textrm{d}x $

$$\frac{1}{18} \int \frac{\textrm{d}u}{u} = \frac{1}{18} \log \vert u \vert + C $$

Este hecho obras, dando la respuesta correcta (después de la sustitución de $x$ ida y la simplificación). Pero nunca he visto este tipo de técnica de integración, y me pregunto si hay un nombre para este método y tal vez una manera sistemática de determinar el grado del polinomio a utilizar? (El polinomio, en este ejemplo, pasó a ser $x^{15}$, algo que yo nunca he pesar de)

Answer 1

No estoy seguro de lo que se llama a este método, pero podemos explorar cómo utilizarlo en general.

Considerar las integrales de la forma general, $$ \int \frac{x^{n+k}+bx^{n}}{cx^{n+k+1}+dx^{n+1}}\textrm{d}x $$

Vamos a recoger a $u = x^{p}\cdot(cx^{n+k+1} +dx^{n+1})$ y desea $\textrm{d}u = C x^p\cdot(ax^{n+k}+bx^n)$ para algunas constantes $C$ e $p$.

Tenga en cuenta que tenemos $$ \textrm{d}u = c\cdot(n+k+p+1) x^{n+k+p} + d\cdot(n+p+1) x^{n+p} $$

Así que queremos elegir a$C$ e $p$ tales que, $$ C\cdot a = c\cdot(n+k+p+1), ~~~C\cdot b = d\cdot(n+p+1) $$

En tu ejemplo, $n=0$, $k=2$, $a=c=1$, $b=8$, e $d=9$ así que nos iba a solucionar, $$ C = (0+2+p+1) = p+3, ~~~ C\cdot 8 = 9\cdot(0+p+1) = 9p+9 $$

Este es un sistema lineal de dos variables que se puede resolver para encontrar $p=15$ e $C=18$.

Tenga en cuenta que pudiéramos tener el denominador tienen un grado más de uno por encima del numerador y hacer un proceso similar a resolver.