$\lim\limits_{n\to\infty}f\left(\frac{x}{n}\right)=0$ para cada $x > 0$. Probar $\lim\limits_{x \to 0}f(x)=0$

Question

La función $f: (0, \infty) \to \mathbb{R}$ es continua. Por cada $x$ positivo tenemos $\lim\limits_{n\to\infty}f\left(\frac{x}{n}\right)=0$ . Demuestre que $\lim\limits_{x \to 0}f(x)=0$ . He tratado de deducir algo de la definición de continuidad, pero sin efecto.

Answer 1

La prueba se basa en el siguiente lema:

Deje $I \subset (0,\infty)$ ser un cerrado delimitado intervalo. Deje $U \subset (0,\infty)$ ser un subconjunto de acumular al $0$. Entonces existe un número entero $N \geq 2$ y algunos intervalo cerrado $J \subset U$ tal que $N \cdot J \subset I$.

Croquis de la prueba: tome algunas $x \in U$ con $x$ menor que la longitud de $I$ y el mínimo de $I$ . Para algunos entero $N \geq 2$, $Nx \in \overset{\circ}{I}$, por lo tanto, existe algún intervalo compacto $J \subset U$ tal que $N \cdot J \subset I$.

Ahora, suponga $f$ no va a la $0$ a $0$. Entonces, por alguna $\epsilon > 0$, $U=\{|f| > \epsilon\}$ es un subconjunto abierto de $(0,\infty)$ acumulando en $0$.

Al iterar el lema, podemos construir secuencias de compacto intervalos de $(I_n)$ y enteros $(N_n)$ tal que $N_{n+1}I_{n+1} \subset I_{n-1}$, $N_n \geq 2$.

Ahora, vamos a $A_n=N_1 \ldots N_n$, a continuación, $A_n \rightarrow \infty$ e $K_n=A_n \cdot I_n$ es un no-aumento de la secuencia de vacío compacto intervalos en $I_0$. Por lo tanto, existe $x$ que está en cada $K_n$.

Así, $x/A_n \in I_n \subset U$, para todos los $n$, lo $|f(x/A_n)| > \epsilon$ para todos los $n$, una contradicción.

Answer 2

Esta es una aplicación estándar de Categoría de Baire Teorema (BCT). Desde $(0,\infty)=\cup_n \{x:|f(\frac x k)| \leq\epsilon \,\forall k \leq n\}$ existe $n$ tal que $\{x:|f(\frac x k)| \leq \epsilon \, \forall k \geq n\}$ contiene algún intervalo abierto $(a,b)$. [ Debido a $(0,\infty)$, está abierto un subconjunto de a$\mathbb R$ tiene un equivalente completa de métricas para BCT se aplica]. Esto le da convergencia UNIFORME de $f(\frac x n)$ a $0$ en algún intervalo abierto a partir de la cual el resultado de la siguiente manera fácilmente. [ Detalles: vamos a $0<\delta <b-a$ e $\delta < \frac a n$. Entonces, para cualquier $x <\delta $ el intervalo de $(\frac a x,\frac b x)$ tiene una longitud superior a $1$, por lo que contiene un interger $k$. Por lo tanto $kx \in (a,b)$. También, $k >\frac a x > \frac a {\delta} > n$ lo $|f(x)|=|f(\frac {kx} k)| <\epsilon$].