Obtención de resultados incorrectos aplicando la ley de Ampere

Question

Digamos que tenemos un cable de corriente con una corriente $I$ que fluye. Sabemos que hay un campo de $B=\frac{\mu_0I}{2\pi r}$ utilizando Ley de Ampère y una trayectoria de integración simple que rodea el cable de forma circular. Ahora bien, si tomamos la trayectoria de integración como para que la superficie abarque no intercepte el alambre obtenemos trivialmente un $B=0$ lo cual es obviamente incorrecto.

Veo que esencialmente lo he tratado como si no hubiera corriente ni siquiera presente. Pero un argumento similar se utiliza en otras situaciones sin culpa.

Tomemos por ejemplo un cilindro conductor con un espacio hueco de forma cilíndrica en su interior. Por el mismo argumento no hay campo en el interior.

Para ilustrar más mi punto, la derivación del campo B dentro de un solenoide requiere que interceptes las corrientes. No se puede simplemente hacer el bucle dentro del entrehierro.

Esto, al menos a mí, me parece lo mismo, y no puedo justificar por qué uno es incorrecto y el otro también. Por favor, indíqueme por qué soy estúpido.

Answer 1

No eres estúpido, sólo estás aprendiendo las cosas de la misma manera que todos nosotros: la escuela de los golpes duros. La ley de Ampere dice que el integral alrededor de ese camino cerrado es cero, no que el campo sea cero en cada punto . Lo que la ley nos dice es que el campo es a veces "positivo" y a veces "negativo" en ese camino, y cuando sumamos las contribuciones de todas partes del camino, obtenemos cero.

Answer 2

Su argumento es incorrecto. $\oint \vec B\cdot d\vec \ell$ es $0$ cuando no se encierra ninguna corriente, pero esto no implica $B=0$ no se puede utilizar $\oint \vec B\cdot d\vec \ell= B\times 2\pi r =\mu_0 I_{encl}$ desde $\vec B$ no es constante en el bucle definido por el contorno: en otras palabras, $\oint\vec B\cdot d\vec \ell$ no es $B\times 2\pi r$ a menos que el contorno sea uno en el que $\vec B\cdot d\vec \ell$ es constante.

Answer 3

Básicamente tienes que evaluar una integral de línea $\oint_{\rm C} \vec B \cdot d\vec l$ sobre un bucle cerrado, lo que en general es difícil de hacer.

Aquí hay dos ejemplos para mostrar que incluso si hay un campo magnético presente la integral de línea es cero.

En el caso de la izquierda $$\oint_{\rm C} \vec B \cdot d\vec l = \int_{\rm WX} \vec B \cdot d\vec l+\int_{\rm XY} \vec B \cdot d\vec l+\int_{\rm YZ} \vec B \cdot d\vec l+\int_{\rm ZX} \vec B \cdot d\vec l = B\,2R+0+(-B\,2R)+0 =0$$

El caso de la derecha es un poco más complicado.

$$\oint_{\rm C} \vec B \cdot d\vec l = \int_{0}^{2\pi} B\,Rd\theta \,\sin \theta = 0$$

y si uno mira un cuadrante entre $\theta =0$ y $\theta = \frac \pi 2$ la integral de la línea es $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} B\,Rd\theta \,\sin \theta = +BR$

Luego, dando vueltas en $\frac \pi 2$ pasos la integral alrededor del bucle cerrado es $+BR+BR+(-BR)+(-BR) =0$ como antes.