Esta es probablemente una pregunta bastante tonta, pero estoy confundido por la teoría de conjuntos otra vez. La pregunta es si $$ \bigcup_ {n=1}^ \infty \left [0,1- \frac {1}{n} \right ]$$ es igual a $[0,1]$ o $[0,1)$ . Sin embargo, estoy buscando alguna explicación y no sólo el resultado, ya que me gustaría entender por qué es lo uno o lo otro.
Respuestas
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Recuerde que $x \in\bigcup\limits_ {i \in I} A_i$ si y sólo si para algunos $i \in I$ , $x \in A_i$ .
Así que $1$ está en la unión si y sólo si aparece en al menos uno de esos intervalos, ¿así es? No. No lo está.
Para el comentario, no pienses en $ \bigcup_ {i=1}^ \infty $ como un límite en el sentido de cálculo de la palabra. Piensa en ello como una operación lógica que te dice que el conjunto de índices es $ \mathbb N$ (o algún otro conjunto que se desprenda claramente del contexto) y luego utilizar la fórmula anterior.
Si desea pensar en ello como $f(n)= \bigcup\limits_ {k=1}^n [0,1- \frac1k ]$ y pensar en la unión infinita como $ \lim\limits_ {n \to\infty } f(n)$ entonces hay varias advertencias:
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Los límites normalmente requieren algún tipo de topología, alguna estructura subyacente que nos diga sobre la convergencia. ¿Cómo definiría el límite aquí? Para cada $ \varepsilon >0$ ...? No tiene sentido, ya que los subconjuntos de $ \mathbb R$ no tienen una función métrica natural.
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Podemos considerar la siguiente definición: $A$ es el límite de la secuencia de $f(n)$ si y sólo si por cada $x \in A$ existe $n_0$ de tal manera que para todos $n>n_0$ , $x \in A_n$ .
Obsérvese, sin embargo, que esto coincide con la definición anterior, que $x$ está en la unión si y sólo si aparece en al menos una de las funciones. Esta definición, sin embargo, coincide con la anterior sólo porque esta secuencia de conjuntos está aumentando.
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Por suerte, siempre podemos pensar en una unión infinita como una secuencia creciente, pero esperaríamos una definición de un límite que funcionara para cualquier secuencia de conjuntos, no sólo el aumento de las uniones.
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Nosotros puede Sin embargo, piense que es el límite de una secuencia de funciones características, $$ \lim_ {n \to\infty } \chi_ { \left [0,1- \frac1n\right ]}= \chi_ {[0,1)}$$ aunque como tal límite, sin embargo, no es "continuo" en la forma en que te gustaría que fuera, es decir, $$ \lim_ {n \to\infty } \chi_ { \left [0,1- \frac1n\right ]} \neq\chi_ { \left [0,1- \lim\limits_ {n \to\infty } \frac1n\right ]}$$
bartgol
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Robert Mastragostino
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El punto de un límite es que vas "hasta pero sin incluir" el número. El límite del límite superior de la unión que has dado es $1$ pero eso no significa $1$ está en la unión. Como si dijera $ \lim_ {x \to 2}f(x)=3$ no implica $f(2)=3$ . Para ser un elemento de la unión, debe estar en al menos un conjunto. Si no puedes elegir un solo conjunto (pre-sindicato) que contenga $1$ entonces no está en el sindicato. Es es un punto límite, que es donde se encuentra la confusión, pero eso es algo totalmente diferente.
mahler
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Obsérvese que, en este caso, (con la "definición" de $ \infty $ expandido)
$$ \begin {aligned} \bigcup_ {n=1}^ \infty \left [0,1- \frac {1}{n} \right ] & \stackrel { \operatorname {def}}{=} \lim_ {k \to\infty } \bigcup_ {n=1}^k \left [0,1- \frac {1}{n} \right ] \\ & = \lim_ {k \to\infty } \left [0,1- \frac {1}{k} \right ] \\ & = \left [0,1 \right ) \end {aligned}$$
