Caracterización de $\mathbb{R}^n$ ?

Question

Dejemos que $M$ sea una suave $n$ -con la propiedad de que cualquier subconjunto compacto $K \subset M$ está contenida en un $n$ -bola lisa de una dimensión $K \subset B \subset M$ .

Si $M$ está abierto, ¿se deduce que $M$ es difeomorfo a $\mathbb{R}^n$ ?

Nótese que todos los grupos de homotopía de $M$ debe desaparecer y por lo tanto, por el teorema de Whitehead, $M$ es contraíble.

Answer 1

Sí, es cierto. En primer lugar, orienta tu $n$ -manifold $M$ (sus hipótesis implican que $M$ es contraíble, por lo que es posible).

Primero, por su hipótesis, se obtiene un agotamiento creciente $M_k \subset M$ de conjuntos compactos, difeomorfo a la $n$ -bola, de modo que cada $M_k$ está contenida en el interior de $M_{k+1}$ .

Esto es suficiente; esta es la idea. Escribe $B(k)$ para la bola unitaria de radio $k$ en $\Bbb R^n$ . Podemos construir, para cada $k$ , algunos difeomorfismo orientado $\phi_k: M_k \to B(k)$ . Si tuviéramos $\phi_k \big|_{M_{k-1}} = \phi_{k-1}$ entonces tomando la unión creciente de estos $\phi_k$ definimos una biyección $M \to \Bbb R^n$ que es un difeomorfismo en el interior de cualquier conjunto compacto, y por tanto es un difeomorfismo global.

En la práctica, cada una de las sucesivas $\phi_k$ no tiene nada que ver con el anterior. Así es como vamos a resolver esto.

Considere el mapa $g_k: \phi_{k+1}\phi^{-1}_k: B(k) \to B(k+1)$ . Todo lo que sabemos de este mapa es que es una incrustación orientada suave en el interior.

Lema: Sólo hay una incrustación orientada del $n$ -disco en cualquier orientado liso abierto $n$ -manifold $M$ hasta la isotopía.

Se trata de un lema de Cerf y Palais, independientemente; véase aquí . La idea es llevar cualquier incrustación suave a la incrustación lineal en un gráfico dado por la derivada en cero. En particular, podemos encontrar una isotopía ambiental $f_t: B(k+1) \to B(k+1)$ que es la identidad cerca del límite, por lo que $f_0 = \text{Id}$ y $f_t g_k$ es una isotopía suave entre $f_0 g_k = g_k$ arriba y $f_1 g_k$ el mapa de inclusión canónico.

Por lo tanto, el mapa $f_1 \phi_{k+1}$ restringe a $\phi_k$ en $M_k$ . Así que elegimos este para ser nuestro difeomorfismo dado $M_{k+1} \to B(k+1)$ . Procediendo de forma inductiva, tenemos nuestro resultado deseado.