Sea $U,V$ sean subconjuntos abiertos no vacíos y conectados de la esfera $S^2$ tal que $\partial U=\partial V$ y $\operatorname{cl}(U\cup V)=S^2$ . Debe $U$ y $V$ estar simplemente conectados?
Esto parece intuitivamente obvio, pero no sé cuál es la mejor manera de demostrarlo. Tengo una prueba meticulosa en la que básicamente se "rasteriza" el problema y se reduce a algún enunciado discreto sobre cualquier rejilla finita, pero me parece una forma pobre de hacerlo. ¿Hay alguna forma mejor de demostrar esta afirmación?
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En $S^3$ no es cierto. Consideremos la esfera con cuernos de Alexander (véase es.wikipedia.org/wiki/Alexander_horned_sphere ). Separa $S^3$ en dos componentes no vacíos $U, V$ como en tu pregunta, pero una de ellas no está simplemente conectada.
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Me pregunto si es posible demostrar que el límite común de $U, V$ ¿está conectado?
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@PaulFrost Es cierto que la frontera es conexa; el método discreto que conozco para este problema también establece que la frontera es conexa, pero no es una prueba muy satisfactoria.
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Lo he preguntado porque se puede demostrar que el complemento de compactos conectados $B \subset S^2$ se divide en la unión disjunta de, como máximo, un número contable de discos abiertos.
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@PaulFrost Ah, qué interesante, no lo sabía. Eso parece que sería la mayor parte del camino a una prueba - aunque no tengo una manera rápida de ver que el límite es de hecho conectado. (Pero eso podría ser más fácil, incluso podría ser factible a través de la homología)
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Véase mi respuesta a math.stackexchange.com/q/2897660 (especialmente el último párrafo). Se trata de resultados muy poco triviales.