Expansión de maclaurin de$\arctan(x)/(1 − x).$

Question

¿Cómo se derivó esta expansión de Maclaurin? Para cada $|x|<1,$ \begin{align} \left( \frac{\arctan(x)}{1-x} \right)&=\left( \sum^{\infty}_{k=0}x^k\right)\left(\sum^{\infty}_{j=0}\dfrac{(-1)^j x^{2j+1}}{2j+1}\right)\\&= \sum^{\infty}_{k=0}\left(\sum_{j\in D_k} \dfrac{ (-1)^{j} }{2j+1}\right)x^k,\;\text{where}\; D_k=\{j\in \Bbb{N}:0\leq j\leq (k-1)/2\}.\end {align}

Aqui esta mi juicio

\begin{align} \left( \frac{\arctan(x)}{1-x} \right)&=\left( \sum^{\infty}_{k=0}x^k\right)\left(\sum^{\infty}_{j=0}\dfrac{(-1)^j x^{2j+1}}{2j+1}\right)\\&= \sum^{\infty}_{k=0}\left(\sum^{k}_{j=0} x^j\dfrac{ (-1)^{(k-j)} x^{2(k-j)+1}}{2(k-j)+1}\right),\;\text{for}\; k\in \Bbb{N}\\&\stackrel{\text{how?}}{=} \sum^{\infty}_{k=0}\left(\sum_{j\in D_k} \dfrac{ (-1)^{j} }{2j+1}\right)x^k.\end{align}

Answer 1

La idea aquí es utilizar el Producto de Cauchy. Sin embargo, dado que una serie tiene exponentes de la $k$ y la de otras series ha exponentes de la $2j+1$, tenemos que extraer la esencia de la fórmula del producto: que es, para un determinado $m$, los productos de los términos que dan a $x^m$? Que sería cuando se $k+2j+1=m$. Por lo tanto, el coeficiente de $x^m$ en el producto final es $$ \sum_{j=0}^{\left\lfloor\frac{m-1}2\right\rfloor}\overbrace{\vphantom{b}\ a_{m-2j-1}\ }^{\substack{\text{coeficiente de}\\\text {$x^{m-2j-1}$}}} \overbrace{\ \ \ \ \ b_j\ \ \ \ \ }^{\substack{\text{coeficiente}\\\text {$x^{2j+1}$}}} $$ Es decir, $$ \sum_{k=0}^\infty a_kx^k\sum_{j=0}^\infty b_jx^{2j+1} =\sum_{m=0}^\infty\sum_{j=0}^{\left\lfloor\frac{m-1}2\right\rfloor}a_{m-2j-1}b_jx^m $$ Desde $a_k=1$ para todos los $k\ge0$, tenemos $$ \sum_{m=0}^\infty\sum_{j=0}^{\left\lfloor\frac{m-1}2\right\rfloor}\overbrace{\ \frac{(-1)^j}{2j+1}\ }^{b_j}x^m $$

Answer 2

Corregido: Gracias a robjohn por la mentoría. Ya que \begin{align} \left( \sum^{\infty}_{k=0}a_k x^k\right)\left( \sum^{\infty}_{j=0}b_j x^j\right)&=\sum^{\infty}_{r=0}\left( \sum^{r}_{j=0}b_j a_{r-j} \right)x^{r},\;\text{where}\; r=k+j\;\text{and}\;r\in\Bbb{N},.\end {align} tenemos eso,

\begin{align} \left( \frac{\arctan x }{1-x} \right)&=\left( \sum^{\infty}_{k=0}a_k x^k\right)\left( \sum^{\infty}_{j=0}b_j x^{2j+1}\right)\\&=\sum^{\infty}_{\gamma=0}\left( \sum^{\frac{\gamma-1}{2}}_{j=0}b_j a_{\gamma-2j-1} \right)x^{\gamma},\;\text{where}\; \gamma=k+2j+1\;\text{and}\;\gamma\in\Bbb{N},\\&=\sum^{\infty}_{\gamma=0}\left( \sum^{\frac{\gamma-1}{2}}_{j=0}\dfrac{ (-1)^{j} }{2j+1} \right)x^{\gamma},\\&= \sum^{\infty}_{\gamma=0}\left(\sum_{j\in D_\gamma} \dfrac{ (-1)^{j} }{2j+1}\right)x^\gamma.\end {align} donde $D_\gamma=\{j\in \Bbb{N}:0\leq j\leq (\gamma-1)/2\},\;a_{\gamma-2j-1} =1,\,j\in D_\gamma ,\;b_j= (-1)^{j} /(2j+1).$