¿Hay dos funciones $f, g$ tal que $f(g(x)) = x^3$ y $g(f(x)) = x^5$ ?

Question

Pregunta. ¿Hay dos funciones $f, g: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ que satisfagan $f(g(x)) = x^3 \enspace\forall x\in\mathbb{R}$ y $g(f(x)) = x^5\enspace\forall x\in\mathbb{R}$ ?

Se trata de una ampliación de esta pregunta donde demostré que no hay dos funciones tales que $f(g(x)) = x^{2018}$ y $g(f(x))=x^{2019}$ (mi prueba puede extenderse fácilmente a dos potencias cualesquiera en las que una potencia sea impar y la otra potencia sea par, en lugar de sólo $2018$ y $2019$ .)

Observación $1$ . Si hay dos funciones de este tipo, entonces satisfacen las siguientes propiedades:

• $f, g$ son biyectivas;
• $f(x^5) = f(x)^3\enspace\forall x\in\mathbb{R}$ ;
• $g(x^3) = g(x)^5\enspace\forall x\in\mathbb{R}$ ;
• $f(i), g(i)\in\{-1, 0, 1\}\enspace\forall i\in\{-1, 0, 1\}$ ;
• $x^9 = f(g(x))^3 = f(g(x^3)) \enspace\forall x\in\mathbb{R}$ ;
• $g^{-1}(x)=\sqrt[3]{f(x)}, f^{-1}(x)=\sqrt[5]{g(x)}\enspace\forall x\in\mathbb{R}$ .

Observación $2$ . Una pregunta similar sería si existen dos funciones tales que $f(g(x)) = x^2 \enspace\forall x\in\mathbb{R}$ y $g(f(x)) = x^4 \enspace\forall x\in\mathbb{R}$ o más en general:

¿Para qué? $i, j\in\mathbb{N}$ ¿existen funciones $f,g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ tal que $f(g(x)) = x^i, g(f(x)) = x^j\enspace\forall x\in\mathbb{R}$ ?

Answer 1

Sí, existen $f,g$ . Definamos $$ g(x)=\begin{cases}0,\quad x=0\\ 1,\quad x=1\\ \exp\left[5\exp\left(\frac{\log 5}{\log 3}\log \log x\right)\right],\quad x>1\\ \exp\left[-5\exp\left(\frac{\log 5}{\log 3}\log \log \frac{1}{x}\right)\right],\quad 0<x<1\\ -g(-x),\quad x<0 \end{cases} $$ y $$ f(x)=\begin{cases}0,\quad x=0\\ 1,\quad x=1\\ \exp\left[\exp\left(\frac{\log 3}{\log 5}\log \log x\right)\right],\quad x>1\\ \exp\left[-\exp\left(\frac{\log 3}{\log 5}\log \log \frac{1}{x}\right)\right],\quad 0<x<1\\ -f(-x),\quad x<0 \end{cases}. $$ Entonces podemos comprobar que $f,g$ son continuas, Impares, estrictamente crecientes biyección en $\mathbb{R}$ . Y también podemos ver que $g((0,1))=(0,1)$ y $g((1,\infty))=(1,\infty)$ y lo mismo vale para $f$ . Por último, observe que $$ f(g(x))= \begin{cases}\exp\left[\exp\left(\frac{\log 3}{\log 5}\left(\frac{\log 5}{\log 3}\log \log x+\log 5\right)\right)\right]=\exp[3\log x]=x^3,\quad x>1\\\exp\left[-\exp\left(\frac{\log 3}{\log 5}\left(\frac{\log 5}{\log 3}\log \log \frac{1}{x}+\log 5\right)\right)\right]=\exp[-3\log \frac{1}{x}]=x^3,\quad 0<x<1\\ 1,\quad x=1\\ 0,\quad x=0. \end{cases} $$ Desde $f,g$ son impar, esto demuestra $f(g(x))=x^3$ . Del mismo modo, se cumple que $g(f(x))=x^5$ .

Nota : Supongo que una construcción similar funciona para los pares impar generales $(i,j)$ donde $i \neq 1,j \neq 1$ modificando los parámetros. Cuando $(i,j)$ es un par, supongo que podemos construir pares $f,g$ también modificando los parámetros.

Answer 2

Sea $\varphi(x)=x^3$ y $\psi(x)=x^5$ . Son biyecciones de $\mathbb{R}$ a sí misma. Existen algunos conjuntos $I$ , $J$ que son la reunión de $\{0,\pm 1\}$ y cuatro intervalos semiabiertos tales que: Para cada $x \neq 0,\pm 1$ existe un único número entero $N \in \mathbb{Z}$ tal que $\varphi^N(x) \in I$ (lo mismo para $\psi$ y $J$ ).

Ahora hay alguna biyección $T_1 : I \rightarrow J$ de los cuales $0,\pm 1$ son puntos fijos.

Definimos la biyección $T$ de $\mathbb{R}$ a sí mismo mediante $T(\varphi^N(x))=\psi^N(T_1(x))$ si $x \in I$ y $N$ es un número entero.

Es fácil ver que $T \circ \varphi=\psi \circ T$ es decir $T^{-1} \circ (T \circ \varphi)= \varphi$ y $ (T \circ \varphi) \circ T^{-1} = \psi$ .

Creo que esto se puede generalizar al caso $i$ y $j$ impar.