Hormiga escalada en arbusto

Question

Una hormiga que está en el suelo y tratando de subir en (recta) de ivy bush 10 m de alto. Se arrastra hasta 0.1 m cada noche, pero en el día, el arbusto que crece de manera uniforme por 0.5 m (en toda su altura). Se la hormiga nunca llegar a la cima de la hiedra? Si sí, ¿en cuántos días? Si no, justificar por qué.

Vamos a convertir todo en centímetros. He hecho una tabla con los valores de la altura bush cada noche y cada día, en base a las reglas. La hormiga comienza con 1000 cm de altura y 0 cm por debajo. Luego avanza por 10 cm lo que ha 990 cm por encima y 10 cm por debajo. La altura Total es (todavía) 1000 cm. En la mañana, a la altura de la de bush es proporcionalmente extendido por el 5% por lo que el valor es ahora $990*(5/1000)+990 = 1039.5$ y el de abajo es $10*(5/1000)+10 = 10.5$ La altura Total es, por supuesto, un aumento del 50 cm. Luego en la noche, el primer valor es disminuido por 10 y la segunda es el aumento de 10. La altura sigue siendo la misma. Podemos continuar de esta manera y tienen los siguientes valores:

Arbusto de hasta (cm) Bush hacia abajo (cm) Total

Inicialmente 1000 0 1000

1 de la noche 990 10 1000

1er día 1039,5 10,5 1050

2da noche 1029,5 20,5 1050

2º día 1078,52381 21,47619048 1100

3ª noche 1068,52381 31,47619048 1100

3er día 1117,093074 32,90692641 1150

4ta noche 1107,093074 42,90692641 1150

4º día 1155,227555 44,77244495 1200

5ta noche 1145,227555 54,77244495 1200

Continuamos de esta manera y ahora vamos a hacer un gráfico de las 3 columnas, bush, bush hacia abajo y Total. Nos damos cuenta de que las 3 curvas están disminuyendo, lo que significa que nunca se intersecan. Esto significa que la hormiga nunca va a llegar a la cima. Sin embargo, esto no es correcto. Me dijeron que el problema tiene una respuesta positiva. Donde estoy equivocado?

Muchas gracias de anticipacion!

Answer 1

Por simplicidad, vamos a $0.1m$ ser la unidad. Suponga que en la noche se $n$ la hormiga se encuentra a la altura $a_n$ y la de bush tiene la altura $b_n$ (todas las medidas en unidades, $a_0=0$, $b_0=100$). De modo que la nueva altura de la de bush es $b_{n+1}=b_n+5$, que los rendimientos de la serie aritmética $b_n=5n+100$. La nueva posición de la hormiga es $a_{n+1}= (a_n+1)\cdot \frac{b_n+5}{b_n}= (a_n+1)\cdot \frac{n+21}{n+20}$. (Fácil de cálculo.)

Como auxiliar de la serie, presentamos $x_n:= \frac{a_n}{n+20}$. A continuación, la fórmula anterior se traduce en $c_{n+1}= c_n+\frac{1}{n+20}$.

Por lo tanto $c_n$ es casi la serie armónica. (La serie armónica es $H_n= \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k}$. Es bien sabido que $H_n>\log n$.)

De hecho, $c_n= H_{n+20}-H_{20}$, y, en particular, $a_n=(H_{n+20}-H_{20})(n+20)$, que late $b_n=5(n+20)$ tan pronto como $H_{n+20}-H_{20}\geq 5$.

Con cálculo preciso, esto produce que la hormiga llega a la parte superior exactamente en el día $3043$, por lo que debe haber hecho un error de redondeo con Excel.

Answer 2

La altura total de la selva después de $d$ días es $h_d=(10 + 0.5d){\text{m}}$. Cuando la hormiga sube a $0.1{\text{m}}$ en la noche, esto constituye una fracción $0.1 / h_d = \frac{1}{100 + 5d}$ de la altura total. (Por supuesto, cuando el arbusto crece durante el día, la hormiga de la posición relativa en el monte no es afectada.) Tan solo necesitas saber para qué valor de $N$ suma $\sum_{d=1}^{N}\frac{1}{100+5d}$ primer supera $1$.

Esto es, si el arbusto crece primero, antes de la hormiga siempre sube... su formulación original da la hormiga de head start en relación a esto, porque vamos a la hormiga antes de subir el arbusto crece. En ese caso, usted quiere saber cuándo $\sum_{d=1}^{N}\frac{1}{100+5d}$ supera $0.99$. El uso de Excel, me parece que la ascensión se $2874$ días para el último caso (de acuerdo con OP) y $3023$ días para el caso anterior.