¿Puede un cubo de función discontinua ser continua?

Question

¿Puede un cubo (significando $g(x) = f(x)^3 = f(x) \cdot f(x) \cdot f(x)$) de una función discontinua $f: D \to \mathbb{R}$ ($D$ es un subconjunto de $\mathbb{R}$) ser continua? Creo que no puede, ya que $x^3$ es inyectiva, pero no soy capaz de demostrarlo o encontrar un contraejemplo.

Answer 1

Dado que $\phi : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \phi(x) = x^3$, es un homeomorfismo, se tiene que $f$ es continua si y solo si $\phi \circ f$ es continua.

Answer 2

Si una función $f(x)$ es continua, entonces su raíz cúbica $g(x) = f(x)^{1/3}$ también es continua.

Por lo tanto, la contrapositiva también es verdadera, que es:

Si una función $g(x)$ no es continua, entonces su cubo $f(x) = g(x)^3$ tampoco es continuo.

(Hablando estrictamente, la contrapositiva en realidad es "si la raíz cúbica $f(x)^{1/3}$ de una función $f(x)$ no es continua, entonces la función $f(x)$ tampoco es continua". Pero esto es equivalente.)