Dividir repetidamente $360$ por $2$ conserva que la suma de los dígitos (incluidos los decimales) es $9$

Question

¿Puede alguien darme una pista sobre cómo voy a demostrar que este patrón es cierto o no al tratar de la división repetida por 2? He probado a dividir 360 entre 2 repetidamente, finalmente los dígitos del resultado, cuando se suman repetidamente, siempre dan como resultado 9 por ejemplo: \begin{align*} 360 ÷ 2 &= 180 \text{, and } 1 + 8 + 0 = 9\\ 180 ÷ 2 &= 90 \text{, and } 9 + 0 = 9\\ 90 ÷ 2 &= 45 \text{, and } 4 + 5 = 9\\ 45 ÷ 2 &= 22.5 \text{, and } 2 + 2 + 5 = 9\\ 22.5 ÷ 2 &= 11.25 \text{, and } 1 + 1 + 2 + 5 = 9\\ 11.25 ÷ 2 &= 5.625 \text{, and } 5 + 6 + 2 + 5 = 18 \text{, and } 1 + 8 = 9\\ 5.625 ÷ 2 &= 2.8125 \text{, and } 2 + 8 + 1 + 2 + 5 = 18 \text{, and } 1 + 8 = 9 \end{align*}

Como sigo este patrón no he encontrado ningún error (pero no estoy tan seguro)... ¡por favor cualquier idea sería de gran ayuda!

Answer 1

Definir el suma de dígitos del número entero positivo $n$ como la suma $d(n)$ de sus dígitos. El suma de dígitos reducida $d^*(n)$ se obtiene iterando el cálculo de la suma de dígitos. Por ejemplo $$ n=17254,\quad d(n)=1+7+2+5+4=19, \quad d(d(n))=1+9=10, \quad d(d(d(n)))=1+0=1=d^*(n) $$ Tenga en cuenta que $d(n)\le n$ la igualdad se mantiene si y sólo si $1\le n\le 9$ . También, $1\le d^*(n)\le 9$ porque el proceso sólo se detiene cuando la suma de dígitos obtenida es un número de un dígito.

El punto principal es que $n-d(n)$ es divisible por $9$ En efecto, si $$ n=a_0+a_1\cdot10+a_2\cdot10^2+\dots+a_n\cdot10^n, $$ entonces $$ n-d(n)=a_0(1-1)+a_1(10-1)+a_2(10^2-1)+\dots+a_n(10^n-1) $$ y cada factor $10^k-1$ es divisible por $9$ . Esto se extiende a la suma de dígitos reducida, porque podemos escribir (en el ejemplo anterior) $$ n-d^*(n)=\bigl(n-d(n)\bigr)+\bigl(d(n)-d(d(n))\bigr)+\bigl(d(d(n))-d(d(d(n)))\bigr) $$ y cada término entre paréntesis es divisible por $9$ . Esto funciona igual cuando es necesario un número diferente de pasos.

Dado que el único número de una cifra divisible por $9$ es $9$ mismo, podemos concluir que

$d^*(n)=9$ si y sólo si $n$ es divisible por $9$ .

Desde $360$ es divisible por $9$ su suma de dígitos reducida es $9$ lo mismo ocurre con $180$ y así sucesivamente.

Cuando se divide un entero par $n$ por $2$ el cociente es divisible por $9$ si y sólo si $n$ es divisible por $9$ .

¿Y si el número entero $n$ es impar? Bueno, la suma de dígitos de $10n$ es igual a la suma de dígitos de $n$ . Así que lo que realmente se hace al llegar a $45$ es en realidad \begin{align} &45 \xrightarrow{\cdot10} 450 \xrightarrow{/2} 225 && d^*(225)=9 \\ &225 \xrightarrow{\cdot10} 2250 \xrightarrow{/2} 1225 && d^*(1225)=9 \end{align} y así sucesivamente. Obsérvese que el primer paso también puede expresarse como $$ 45 \xrightarrow{\cdot5} 225 $$

En estas operaciones la divisibilidad por $9$ se conserva, porque se divide por $2$ o multiplicar por $5$ .

Answer 2

En general, si un número entero es divisible por 9, su raíz digital es $9$ . Cualquier múltiplo de un número entero divisible por $9$ también será divisible por $9$ y tienen raíz digital $9$ .

Lo que es ligeramente sorprendente aquí es que esta propiedad también es conservada por división por $2$ . Tenga en cuenta que no funciona para, por ejemplo, la división por $3$ ya que $360/3 = 120$ tiene raíz digital $3$ .

Una propiedad relevante que $2$ tiene, pero $3$ no lo hace, es que es un factor de $10$ . Dividiendo por $2$ equivale a multiplicar por $5$ que preserva la propiedad, y luego dividiendo por $10$ que también preserva la propiedad porque sólo elimina un cero final, o añade o desplaza el punto decimal.

De forma más general, la división por un número entero $n$ conservará la propiedad de tener raíz digital $9$ si todos los factores primos de $n$ son factores de $10$ es decir, es igual a $2^a5^b$ para algunos $a,b \geq1$ . Esto funciona porque la división por $2^a5^b$ equivale a multiplicar por $2^b5^a$ y luego dividir por $10^{a+b}$ .

Answer 3

Un número es divisible por 9 si sus dígitos suman un número divisible por 9. Ese es el fenómeno subyacente aquí.

Answer 4

Creo que las otras respuestas son innecesariamente complicadas.

Es muy sencillo: un número es múltiplo de 9 si y sólo si la suma de sus dígitos es igual a 9. Has empezado con 360, que es un múltiplo de 9. Cuando dicho número puede dividirse por 2, el resultado seguirá siendo un múltiplo de 9 porque 2 y 9 son coprimos.

Y cuando finalmente llegas al punto en el que el número no es divisible por 2, como hiciste con 45, podemos simplemente imaginar que multiplicaste por 10 antes de dividir por 2 - de modo que de 45 pasas a 450 y luego a 225, que es esencialmente lo mismo que pasar a 22,5. Y como multiplicar por 10 tampoco cambia la propiedad de que un número sea múltiplo de 9 (porque 10 y 9 son coprimos), tu resultado sigue siendo múltiplo de 9.

Answer 5

1) La suma de los dígitos de un múltiplo de $9$ será un múltiplo de $9$ .

¿Por qué? Si $N$ es un múltiplo de $9$ entonces $N - 9k$ también será un múltiplo de $9$ para todos los enteros $k$ .

Si $N = \sum_{k=0}^n a_k 10^k$ es un múltiplo de $9$ entonces $(\sum_{k=0}^n a_k 10^k) - 9(a_1 + 11a_2 + 111a_3 + ..... + 1111.....1111a_n)$ es un múltiplo de $9$ .

Y $(\sum_{k=0}^n a_k 10^k) - 9(a_1 + 11a_2 + 111a_3 + ..... + 1111.....1111a_n)=$

$(\sum_{k=0}^n a_k 10^k) - (9a_1 + 99a_2 + 999a_3 + ..... + 9999.....9999a_n)=$

$\sum_{k=0}^n [a_k*10^k - \underbrace{999...9}k*a_k]=$

$\sum_{k=0}^n a_k(10^k - \underbrace{999...9}k)=\sum_{k=0}^n a_k*1 =$ la suma de los dígitos de $N$ .

2) podemos ampliar que los decimales:

Si $N$ es $9$ veces algún decimal de terminación que la suma de los dígitos es un múltiplo de $9$ .

¿Por qué? Bueno, es lo mismo que lo anterior, excepto que $N$ se ha dividido por una potencia de $10$ . Pero eso sólo afecta a la posición del punto decimal. No afecta a los dígitos.

3) Si $N$ es un $9$ por un decimal de terminación que $\frac N2$ es $9$ por un decimal de terminación.

Si $N = 9\times M$ y $M$ es un decimal de terminación entonces $\frac M2$ es un decimal de terminación. Entonces $\frac N2 = 9\times \frac M2$ también es $9$ por un decimal de terminación y los dígitos suman un múltiplo de $9$ .

4) Ya que $360 = 9*40$ comenzamos con un número cuyos dígitos suman $9$ . Dividiendo sucesivamente por $2$ dará lugar a $9*20$ y $9*10$ y así sucesivamente, siempre $9$ por un decimal final con la suma de los dígitos siendo un múltiplo de $9$ .