Deje que$V_{n}(\mathbb{C}^{k})$ la variedad Stiefel de$n$ - encuadre en$\mathbb{C}^{k}$. Podemos ver$V_{n}(\mathbb{C}^{k})$ como un subconjunto de$n$ copias del producto cartesiano$S^{2k-1} \times \cdots \times S^{2K-1}$. Así que tenemos un paquete$ V_{n-1}(\mathbb{C}^{k-1}) \rightarrow V_{n}(\mathbb{C}^{k}) \rightarrow S^{2k-1} $.
¿Cómo puedo encontrar trivializaciones locales?
Como he mencionado en los comentarios, dada grupos compactos $H\subseteq K\subseteq G$, siempre hay un haz de fibras de la forma $$K/H\rightarrow G/H \rightarrow G/K$$ where the projection map $\pi$ maps $gH$ to $gK$ and which has structure group $K$.
No sé de ningún particularmente fácil o prueba evidente de este hecho. La única referencia que tengo para ella es un montón de notas escritas a mano de mi asesor, pero probablemente hay otras referencias que hay. La clave lema es que uno siempre tiene una rebanada y que la isotropía de la representación, en tal caso, debe ser trivial.
El formato más general que tengo de saber si: Si $K$ es un compacto de Lie del grupo de actuar sin problemas en un colector $M$ con todos los isotropía grupos conjugado (es decir, a un subgrupo $H$), entonces la proyección de $M\rightarrow M/K$ es un haz de fibras mapa de la estructura de grupo $K$ y con fibra de $K/H$.
De todos modos, el uso de este en las inclusiones $U(k-n) \subseteq U(k-1)\subseteq U(k)$ (a través de la costumbre bloque de incrustaciones) le da la fibration que estás buscando.
Para su caso en particular, si $G$ actúa transitivamente sobre un colector $M$ con la isotropía de los subgrupos $H$, entonces no es un $G$-equivariant diffeomorphism $G/H\cong M$. Esto es demostrado en Lee la Introducción a la Suave Colectores Teorema 9.24.
Así, con el fin de mostrar, por ejemplo, $U(k)/U(k-1)\cong S^{2k-1}$, es suficiente para encontrar un transitiva $U(k)$ acción en $S^{2k-1}$ con la isotropía de los subgrupos $U(k-1)$. Bien, $U(k)$ natural actúa sobre la $\mathbb{C}^k$ y conserva las longitudes de los vectores, por lo que también actúa en $S^{2k-1}\subseteq \mathbb{C}^k$. No es demasiado difícil ver esta acción es transitiva. El conjunto de elementos en $U(k)$ que solucionar el polo norte es fácilmente visto a $U(k-1)$ bloque incrustado.
Para el Stiefel manfolds, tenemos $U(k)/U(k-n)\cong V_n(\mathbb{C}^k)$. Tenga en cuenta que $U(k)$ natural actúa sobre la $\mathbb{C}^k$, y por tanto en las colecciones de tuplas ordenadas de vectores en $\mathbb{C}^k$. Dado cualquier $n$ ortonormales de vectores $\{v_1,..., v_n\}$, completar a una base ortonormales $\{v_1,..., v_n, w_{n+1}, ... ,w_k\}$. La matriz cuyas columnas son las $v$s y $w$s es un elemento de $U(k)$, el cual se asigna el primer $n$ estándar vectores de la base a $\{v_1,...,v_n\}$.
Esto demuestra que $U(k)$ actúa transitivamente sobre $V_n(\mathbb{C}^k)$. Yo voy a dejar a usted para comprobar que las matrices en $U(k)$ que resolver el primer problema, $n$ estándar vectores de la base son precisamente las matrices de la forma$\operatorname{diag}(I, B)$$B\in U(k-n)$.
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