Suma difícil / serie de productos que involucran reciprocidad de

Question

Me encontré con una serie interesante. Lo miré y debo admitir que ni siquiera sé por dónde empezar. Intenté jugar con eso, pero fue en vano.

Aquí está. Quizás no sea factible.

PS

Corrí esto a través de Maple Parece que converge.

Me dio $$\displaystyle \frac{1}{\ln(2)}+\frac{1}{\ln(2)\ln(3)}+\frac{1}{\ln(2)\ln(3)\ln(4)}+\cdots $

¿Puede esto incluso ser evaluado de alguna manera inteligente?

Answer 1

Creo que la clave es "la primera generalizar". Claramente el infinito producto de registros consecutivos de argumentos es divergente, pero como en el problema de la suma de poderes, lo que conduce a la de bernoulli-números, puede ser significativo para provisorically asumir una expresión de la constante de este. Decir que asumimos una función de $\small P(a) = \ln(1+a) \cdot \ln(1+a+1) \cdot \ln(1+a+2) \cdot \ldots $, entonces se podría escribir de dicha suma, como $$\small S(2) = {P(2) \over P(1)} + {P(3) \over P(1)} + {P(4) \over P(1)} + \ldots $$ Ahora decir $\small f(a) = {P(a) \over P(1)} $ a continuación de la otra forma $$\small S(a) = f(a)+ f(a+1) +f(a+2) + \ldots $$ hints to an expression involving bernoulli-polynomials or along the EulerMaclaurin-summation-formula. It requires then a "transfer"-function $\pequeño f(x+1)=\varphi(f(x)) $ y el mecanismo de suma indefinida.

Tal vez esta sugerencia ya es suficiente; creo que voy a probar algunos pasos más a mí mismo el día de hoy y ampliar esta respuesta si es necesario.