Notación de barra invertida:$\Gamma {\setminus} \mathbb{H}^n$

Question

Encontré esta notación en un artículo de Carron:

Cuando X =$\Gamma{\setminus}\mathbb{H}^n$ es una variedad hiperbólica real, ...

$\Gamma$ es un subgrupo discreto libre de torsión de SO$(n,1)$. Mi pregunta es estrecha: ¿cuál es el significado de la notación de barra invertida? Se utiliza específicamente sin espacios, es decir, no$\Gamma \setminus \mathbb{H}^n$. ¡Gracias por aclararlo!

Answer 1

Esta notación significa que $\Gamma$ actúa en $\mathbb{H}^n$ $X$ es el cociente de un espacio para esta acción, i.e, el espacio de órbitas.

Desde $\Gamma \subset SO(n,1)$, la acción es por isometrías. Por lo tanto $X$ hereda una métrica que la proyección canónica $\mathbb{H}^n \to X$ es una isometría local y, por tanto, $X$ tiene curvatura negativa constante (que justifica el nombre de "real hiperbólico manifold").

La notación $\Gamma \backslash \mathbb{H}^n$ se justifica por el hecho de que $\Gamma$ actúa en $\mathbb{H}^n$ a la izquierda. Esta es una notación estándar para la órbita en el espacio de una acción: si G actúa sobre Y a la izquierda el espacio de órbitas es $G \backslash Y$ y si se actúa sobre el derecho, la notación es $Y/G$.