Sea $\Omega$ sea un dominio en forma de estrella en $\mathbb R^n$ Eso es, $\Omega$ es un conjunto abierto tal que para cualquier $x\in \Omega$ , $tx \in \Omega $ para $0 \leq t\leq 1$ . ¿Podemos encontrar una secuencia de dominios en forma de estrella $\{\Omega_i\}_{i\geq 1}$ tal que $\Omega_i$ tiene la frontera lisa y $\bigcup\limits_{i \ge 1} {{\Omega _i}} = \Omega $ ?
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user111356
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Un dominio estrellado puede escribirse como la unión de dominios estrellados acotados, es decir, sus intersecciones con bolas abiertas centradas en el origen. Así, podemos suponer $\Omega$ está limitada.
Sea $B_r$ sea la bola cerrada de radio $r$ centrado en el origen. Sea $C_r(x)$ sea el casco convexo de la unión $B_r\cup \{x\}$ . Defina $\Omega_r=\{x : C_r(x)\subset \Omega\}$ . Observaciones:
- $\Omega_r$ está abierto. Así es, $C_r(x)$ es un conjunto compacto, por lo que si está contenido en $\Omega$ está a una distancia positiva de $\partial\Omega$ . Esto da $x$ algo de espacio para moverse.
- $\Omega_r$ tiene forma de estrella, porque $C_r(tx)\subset C_r(x)$ cuando $0\le t\le 1$ .
- Por cada $x\in \Omega_r$ tenemos $C_r(x)\subset \Omega_r$ . Esto se debe a que $y\in C_r(x)$ implica $C_r(y)\subset C_r(x)\subset \Omega$ .
- $\Omega=\bigcup_{n=1}^\infty \Omega_{1/n}$ . De hecho, para cada $x\in \Omega$ el segmento de línea desde $0$ a $x$ está a una distancia positiva de $\partial\Omega$ lo que implica $x\in \Omega_r$ para un valor de $r$ .
Teniendo en cuenta 4, basta con aproximar $\Omega_r$ . Defina $\rho: S^{n-1}\to (0,\infty)$ por $\rho(\xi )=\sup\{t:t\xi\in \Omega_r\}$ . Esta función es continua de Lipschitz, siendo la suma de las funciones correspondientes para los conjuntos $C_r(x)$ (que son uniformemente continuas de Lipschitz, debido a $x$ estando acotado y $r$ fijo). Aproximadamente $\rho$ uniformemente por funciones suaves $\rho_n$ escalarlos de modo que $\rho_n<\rho$ puntualmente, y se tiene la aproximación deseada en la forma $\{t\xi : 0\le t<\rho_n(\xi), \ \xi\in S^{n-1}\}$ .
