Me gustaría saber si alguien sabe cómo dividir correctamente una desigualdad por otra, como un método de resolución similar a cuando dividimos una igualdad por otra.
Tome esto como ejemplo:$x^2 - y^2 \lt 8$ y$x + y \gt 3$.
Quiero saber si es posible factorizar el lado izquierdo de la primera ecuación, multiplicar por$-1$ la segunda ecuación y dividir ambas ecuaciones para obtener:$y - x \gt -8/3$. Realmente no sé si el signo debe ser <o>.
¡Gracias!
Supongamos que$x^2-y^2 < 8$ y$x+y > 3$. Si$y - x \le -\dfrac{8}{3}$, entonces$x-y \ge \dfrac{8}{3}$, y por lo tanto$x^2-y^2 = (x-y)(x+y) > \dfrac{8}{3} \cdot 3 = 8$, una contradicción desde$x^2-y^2 < 8$.
Por lo tanto, cualquier$(x,y)$ que satisfaga tanto a$x^2-y^2 < 8$ como a$x+y > 3$ también satisfará a$y - x < -\dfrac{8}{3}$.
Sin embargo, lo contrario no es cierto, es decir, si$(x,y)$ satisface$y-x < -\dfrac{8}{3}$, entonces no es necesariamente cierto que$x^2-y^2 < 8$ y$x+y > 3$. Ver los otros comentarios para contraejemplos.
Siguiendo el comentario anterior, aquí hay algunos pequeños pasos:
Nos deja un gráfico de los dos desigualdades (con un dominio donde las funciones correspondientes existir).
La primera de ellas tiene al $y^2 > x^2 - 8$.
Por lo que podemos gráfico de $y = \sqrt{x^2 - 8}$ y el color de los puntos de arriba es azul; pero, puesto que hay dos raíces cuadradas, también consideramos que $y = -\sqrt{x^2 - 8}$ y el color de los puntos de abajo es de color amarillo.
Siguiente gráfico, la segunda desigualdad, $y > -x + 3$, dibujando la línea de $y = -x + 3$, y el color de los puntos de arriba de color rojo.
Ahora, algo que es de color púrpura (es decir, rojo y azul) o naranja (es decir, rojo y amarillo) satisface la desigualdad.
¿Esta imagen corresponde a su conjetura $y > x - 8/3$?
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