Deje que$A = \{0\} \cup [1,2] \cup \{3\}$ y$ B = [0,1] \cup \{2\} \cup \{3\}$ sean subespacios de$\mathbb{R}$ en la topología habitual.
Demuestre que no existe un homeomorfismo$h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tomando$A$ a$B$.
Estaba pensando en usar el hecho de que un lado del intervalo tiene 2 puntos y en el otro tiene un punto en ambos lados. Tal vez entonces pueda usar un resultado de componentes conectados, pero parece que no puedo escribir una prueba.
Gracias por cualquier consejo.
Aquí es una prueba de más o menos principios básicos que podría haber visto.
Lema 1: Si $h:[x,y]\to[\alpha,\beta]$ es un homeomorphism y $h(x)<h(y)$, entonces para todos los $x\leq a<b\leq y$ tenemos $h(a)<h(b)$.
La prueba del Lema 1: suponemos que, al contrario,$h(b)<h(a)$. Tenga en cuenta que $[x,a]\sqcup[b,y]$ tiene exactamente dos componentes, de manera que por un simple resultado en homeomorphisms tenemos que $h([x,a]\sqcup[b,y])=h[x,a]\sqcup h[b,y]$ tiene exactamente dos componentes, a saber,$h[x,a]$$h[b,a]$. Ahora \begin{align*} [\min\{h(x),h(a)\},\max\{h(x),h(a)\}]&\subseteq h[x,a]&\text{and}\\ [\min\{h(b),h(y)\},\max\{h(b),h(y)\}]&\subseteq h[b,y] \end{align*} Por nuestra nota sobre los componentes de $h([x,a]\sqcup[b,y])$ tenemos que, o bien $\max\{h(b),h(y)\}<\min\{h(x),h(a)\}$ o $\max\{h(x),h(a)\}<\min\{h(b),h(y)\}$. En el primer caso $$h(y)\leq\max\{h(b),h(y)\}<\min\{h(x),h(a)\}\leq h(x)<h(y)$$ lo cual es absurdo. En el último caso tenemos una similar absurdo: $$h(a)\leq\max\{h(x),h(a)\}<\min\{h(b),h(y)\}\leq h(b)<h(a)$$ En particular,$h(a)\leq h(b)$. Como $h$ es inyectiva tenemos $h(a)<h(b)$, completando la prueba.
De forma análoga si $h(y)<h(x)$, entonces para todos los $x\leq a<b\leq y$ tenemos $h(b)<h(a)$.
Lema 2: Si $h:[x,y]\to[\alpha,\beta]$ es un homeomorphism y $h(x)\leq h(y)$,$h(x)=\alpha$$h(y)=\beta$.
La prueba del Lema 2: Por el Lema 1, tenemos que $\alpha\leq h(x)\leq h(a)$ todos los $x\leq a\leq y$. Como $\alpha=h(c)$ algunos $x\leq c\leq y$ por surjectivity, debemos tener $\alpha\leq h(x)\leq h(c)=\alpha$, lo $h(x)=\alpha$. Un argumento similar rendimientos $h(y)=\beta$, lo que concluye la prueba.
De forma análoga si $h(y)\leq h(x)$,$h(y)=\alpha$$h(x)=\beta$.
Prueba de Resultado: Deje $h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ser un homeomorphism. Por un simple resultado en homeomorphisms tenemos que $h|_{[0,3]}:[0,3]\to h[0,3]$ es un homeomorphism. Suponemos que, al contrario,$h(A)=B$. Así tenemos a $[0,3]\subseteq h[0,3]$, y, necesariamente, $h[1,2]=[0,1]$ $h(0),h(3)\in\{2,3\}$ $h$ es bijective y lleva a los componentes de la ruta a los componentes de la ruta. Por el Lema 1 $h(0)<h(1)<h(2)$ o $h(3)<h(2)<h(1)$. En el primer caso $h(1)=0$ $h(2)=1$ por el Lema 2, así que o $2=h(0)<h(1)=0$ o $3=h(0)<h(1)=0$; en tanto que ambos son absurdas, el primer caso es imposible. En el segundo caso $h(1)=1$ $h(2)=0$ por el Lema 2, así que o $2=h(3)<h(2)=0$ o $3=h(3)<h(2)=0$; en tanto que ambos son absurdas, el segundo caso es imposible. Como ambos casos dan lugar a un absurdo, tenemos que $h(A)\neq B$ por necesidad de completar la prueba de que no homeomorphism puede existir.
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