Dejemos que $A$ ser un $n \times n$ matriz simétrica real con sumas de filas y columnas nulas. Por ejemplo, $$ A=\begin{bmatrix}1 & -2 & 1\\ -2 & 1 & 1\\ 1 & 1 & -2 \end{bmatrix}. $$ Tengo la siguiente observación interesante sobre $A$ en general.
Reclamación: Supongamos que $\mathrm{rank}(A)=n-1$ y que $v_1, v_2,\dots ,v_{n-1}$ sea el $n-1$ vectores propios normalizados (con longitud unitaria) correspondientes al $n-1$ valores propios no nulos. Sea $\mathbf{V}=[v_1,\dots,v_{n-1}]$ ser un $n\times(n-1)$ matriz de la que cada columna $i$ es el vector propio $v_i$ . Tenemos $$ I-\mathbf{V}\mathbf{V}^{T}=\frac{1}{n}\begin{bmatrix}1 & \dots & 1\\ \vdots & \vdots & \vdots\\ 1 & \dots & 1 \end{bmatrix}, $$ donde $I$ es la matriz de identidad, y $n$ es el número de columnas.
En cuanto a nuestro particular $A$ en la pantalla, tenemos $$ \mathbf{V}=\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}}\\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}}\\ 0 & -\frac{2}{\sqrt{6}} \end{bmatrix}. $$ Se puede comprobar fácilmente la afirmación anterior para este ejemplo. He generado al azar muchas matrices de este tipo, y la afirmación se mantiene. Así que puede ser correcta.
Mi pregunta es cómo probarlo. Después de pasar muchas horas, he avanzado poco hasta ahora. Lo único significativo que he encontrado es que cualquier vector propio de $A$ debe sumar cero, porque $0=1^TAv=\lambda 1^Tv$ . Aquí $\{\lambda, v\}$ denota un par genérico de valor propio y vector propio. Una observación adicional es que todos los cofactores de $A$ son idénticos. Pero estas observaciones están lejos de ser suficientes para entender esta afirmación. Cualquier pensamiento es bienvenido. Gracias.
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Si A tiene eigenspaces de dimensión superior a 1 es mejor utilizar una base ortonormal.