Una pregunta sobre pirámides

Question

Vamos a utilizar la siguiente definición de una cara:

Un vacío subconjunto convexo $F$ de un conjunto convexo $C$ se llama una cara de $C$ si $\alpha x + (1-\alpha) y \in F$ $x, y \in C$ $0 < \alpha < 1$ implican $x, y \in F$.

Vamos a centrarnos en polytopes. En este contexto, decir que una cara $F$ $d$- polytope $P$ es una faceta que si F es una $(d-1)$-cara. Por otra parte, decir que un $d$-polytope $P$ es una pirámide con base $B$ si hay un $(d-1)$-polytope $B$ tal que $P = \text{conv}(B \cup \{a\})$ para un punto de $a$.

Mi pregunta es la siguiente: Vamos a $P$ se trata de una pirámide con la anterior notación. Deje $\widehat B$ ser una faceta de la base de $B$. Cómo puedo probar que $\text{conv}(\widehat B \cup \{a\})$ es una faceta de la $P$?

Answer 1

Creo que esto es más fácil con la definición de las caras como la intersección con el apoyo hyperplanes. Pero vamos a darle un tiro con esta definición.

Obviamente, el conjunto de $\DeclareMathOperator{\conv}{conv}F = \conv(\widehat B \cup \{a\})$ es un subconjunto de a $\conv(B \cup \{a\}) = P$.

Desde $P$ $d$- polytope, $a$ no está en la $d-1$-espacio affinely se extendió por $B$. Es decir, suponiendo que estamos en $d$-espacio, $a$ no está en la hyperplane $H$ contiene $B$. De ello se desprende que cada punto de $x \in P$ (excepto en el ápice $a$) puede ser escrita como $\alpha x' + (1 - \alpha)a$ para $x' \in B$ y un único $\alpha \in [0,1]$. Por qué? La línea de $L$$a$$x$, junto con $H$, abarca todo el $d$-espacio, y la intersección de la transversal codimension-$(d-1)$ subespacio y un codimension-$1$ subespacio ha codimension $d$, es decir, es un punto.

Ahora supongamos $x, y \in P$ $\alpha \in (0,1)$ de manera tal que el punto de $z = \alpha x + (1 - \alpha) y$$F$. Desde $x, y \in P$, podemos escribir $x = \beta x' + (1 - \beta) a$ $y = \gamma y' + (1-\gamma)a$ algunos $x', y' \in B$ y algunos $\beta, \gamma \in [0,1]$. Así \begin{align} z &= \alpha (\beta x' + (1 - \beta) a) + (1 - \alpha)(\gamma y' + (1-\gamma)a) \\ &= \alpha \beta x' + \gamma y' - \alpha \gamma y' + (1 - \gamma - \alpha \beta + \alpha \gamma) a. \end{align} Deje $\delta = \alpha \beta + \gamma - \alpha \gamma$. (Usted puede comprobar que $\delta = 0$ si $x = y = z = a$.) \begin{align} z &= \delta \left( \frac{\alpha \beta}{\delta} x' + \frac{\gamma - \alpha \gamma}{\delta} y' \right) + (1 - \delta) a. \end{align} Pero $\frac{\alpha \beta}{\delta} x' + \frac{\gamma - \alpha \gamma}{\delta} y'$ es una combinación convexa de los puntos en $B$, por lo que es un punto en $B$. Desde $z \in F$, $z = \kappa z' + (1 - \kappa) a$ para algunos $z' \in \widehat B$. Por lo $\kappa = \delta$$z' = \frac{\alpha \beta}{\delta} x' + \frac{\gamma - \alpha \gamma}{\delta} y'$. Pero desde $\widehat B$ es una cara, debemos tener $x', y' \in \widehat B$. Por lo tanto, $x, y \in F$.

Esto demuestra que $F$ es una cara.