Vamos a$\frac{{{x^2}}}{{1 + {x^4}}} = \frac{1}{3}$. ¿Qué es$\frac{{{x^4}}}{{1 + {x^8}}}$?

Question

Deje$\frac{{{x^2}}}{{1 + {x^4}}} = \frac{1}{3}$ y$x>0$.

Que es $\frac{{{x^4}}}{{1 + {x^8}}}$?

Answer 1

Sugerencia:

$$x^4 = 3 x^2 - 1$$

$$x^8 = (x^4)^2 = 9 x^4 - 6 x^2 +1 = 9(3x^2-1) - 6x^2 + 1 = 21 x^2 - 8$$

A continuación, $\frac{x^4}{x^8+1} = \cdots$

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[ EDITAR ] Otra respuesta, eliminados, ya que, señaló que $x^4 - 3 x^2 + 1=0$ es un bi-cuadrática que puede ser explícitamente resuelto por $x$, luego en la segunda fracción podría ser en sí explícitamente calculado. Creo que la respuesta fue que vale la pena mantener, incluso si esto resultó ser un "truco", ya que siempre es bueno saber cuáles son las alternativas disponibles si los trucos de fallar.

Una alternativa de acceso directo sería el aviso de que el biquadratic es también "capicúa" (o auto-recíproca) y puede ser escrita como: $$x^2 + \frac{1}{x^2}=3$$

Entonces: $$\frac{x^4}{1+x^8}=\frac{1}{x^4+\cfrac{1}{x^4}}=\frac{1}{\left(x^2+\cfrac{1}{x^2}\right)^2-2}=\frac{1}{9-2}=\frac{1}{7}$$

Answer 2

Puede ser más fácil voltear ambas fracciones.

$$\frac{x^4+1}{x^2}=x^2+\frac1{x^2}=3$ $$$x^4+2+\frac1{x^4}=9$ $$$x^4+\frac1{x^4}=\frac{x^8+1}{x^4}=7$ $$$\frac{x^4}{x^8+1}=\frac17$ $

Answer 3

También hay una solución muy fácil para esto. Como$x>0$, podemos cuadrarlo sin preocuparnos por el signo de la respuesta. Entonces deja $a = \frac{x^2}{1+x^4} = \frac{1}{3}$.

Al cuadrar ambos lados, obtienes:$$ \frac{x^4}{1+2x^4+x^8} = a^2$ $ Multiplicando, obtendrás$$(1+2x^4+x^8)a^2 = x^4$ $ Haz un poco de gimnasia matemática y obtendrás:$$\frac{x^4(1-2a^2)}{1+x^8} = a^2 \implies \frac{x^4}{1+x^8} = \frac{a^2}{1-2a^2}$ $ Luego sustituye$a=\frac{1}{3}$ y obtén la respuesta $\frac{1}{7}$