Suma de series aritmético-geométricas

Question

Así que estoy teniendo problemas para obtener la suma de la serie:

$1 + 2\left(\frac32\right) + 3\left(\frac{3^2}{2^2}\right) + ... + k\left(\frac{3^{k-1}}{2^{k-1}}\right)$

No puedo entender por la vida de mí cómo averiguar la suma de esto.

Answer 1

Deje que $$ S = 1 + a + a ^ 2 + \ cdots + a ^ k = {1-a ^ {k +1} \ sobre 1-a} $$ Diferenciación para$a$ obtenemos $$ S ^ \ prime = 1 + 2a + 3a ^ 2 + \ cdots + ka ^ {k-1} = {a ^ k (ka-k-1) +1 \ over (a-1) ^ 2} $$ Es entonces es obvio que para$a={3\over 2}$ obtenemos la suma deseada, que es $$ 1 +2 \ bigl ({3 \ over 2} \ bigr) + \ cdots + k \ bigl ({3 \ over 2} \ bigr ) ^ {k-1} = \ bigl ({3 \ over 2} \ bigr) ^ k (2k-4) +4 $$

Answer 2

$$\sum\limits_{i=1}^{k}{i \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{(i-1)}}=\sum\limits_{i=0}^{k-1}{\sum\limits_{j=i}^{k-1}{{\left(\frac{3}{2}\right)}^j}}$ $$$=\sum\limits_{i=0}^{k-1}{\frac{ \left(\frac{3}{2}\right)^i -\left(\frac{3}{2}\right)^k}{1-\frac{3}{2}}}$ $$$=\frac{\frac{1- \left(\frac{3}{2}\right)^k }{ 1-\frac{3}{2}}-k\left(\frac{3}{2}\right) ^k}{-\frac{1}{2}}$ $$$=(2k-4)\left(\frac{3}{2}\right)^k+4$ $

Answer 3

$$ \ sum_ {k = 1} ^ {n} ka ^ {k-1} = \ frac {d} {da} \ sum_ {k = 1} ^ na ^ k = \ dfrac {d} {da} \ izquierda (\ sum_ {k = 0} ^ na ^ k -1 \ derecha) $$