Geometría en un círculo.

Question

Alguien me puede explicar por qué la línea$DB$ es igual a$\sin(\alpha + \beta)$. No he podido averiguarlo. Mi imagen (que publicaría si pudiera) se encuentra aquí:

Por ejemplo,

si trato de usar la ley de los cosenos entonces,$$(\cos \alpha)^2 + (\cos \beta)^2 - 2(\cos \alpha) (\cos \beta) (\cos(\alpha + \beta)) = DB$ $ que obviamente no es igual a$\sin(\alpha + \beta)$.

Answer 1

La razón por la que esa línea tiene una longitud$\sin(\alpha+\beta)$ es la misma razón por la que la línea de longitud$\sin\alpha$ tiene esa longitud: en un círculo de unidad de diámetro, la longitud de la cuerda que conecta los puntos finales de un arco es el seno de un ángulo cuyo vértice está en el círculo y cuyos rayos atraviesan los puntos finales del arco.

Answer 2

(Yo uso$a$ y$b$ en lugar de$\alpha$ y$\beta$ porque soy perezoso.)

\begin{align} & (\cos a)^2 + (\cos b)^2 - 2(\cos a) (\cos b) (\cos(a + b)) \\ = {} & (\cos a)^2 + (\cos b)^2 - 2(\cos a)(\cos b)(\cos a \cos b - \sin a \sin b) \\ = {} & (\cos a)^2 + (\cos b)^2 - 2(\cos a)^2(\cos b)^2 + 2 (\cos a)(\cos b)(\sin a)(\sin b) \\ = {} & (\cos a)^2(1-(\cos b)^2) + (\cos b)^2(1-(\cos a)^2) + 2(\cos a)(\cos b)(\sin a \sin b) \\ = {} & (\cos a)^2 (\sin b)^2 + (\cos b)^2 (\sin a)^2 + 2(\cos a)(\cos b)(\sin a \sin b) \\ = {} & (\cos a \sin b + \cos b \sin a)^2 \\ = {} & (\sin(a+b))^2. \end{align}

Así que creo que la expresión que tiene es para$DB^2$, no$DB$, pero, aparte de eso, su expresión fue correcta, pero no se simplificó.