¿Qué técnicas se pueden usar para probar que un espacio-tiempo no es asintóticamente plano?

Question

El moderno coordenadas indepenent definición de asintótica planitud fue introducido por Geroch en 1972. Usted puede encontrar presentaciones en Wald 1984 y Townsend, 1997. La definición en términos de la existencia de algo, de un cierto tipo de conformación compactification, y, en muchos casos, tales como la métrica de Schwarzschild, es sencillo pensar en una construcción que resulta de la existencia. Pero para demostrar que un espacio-tiempo es no asintóticamente plana, usted tiene que demostrar la inexistencia de cualquier compactification, que parece más difícil.

¿Qué técnicas pueden ser usados para probar que un espacio-tiempo es no asintóticamente plana?

El único ejemplo de esta técnica que he sido capaz de pensar es la siguiente. Supongamos que queremos demostrar que una FLRW el espacio-tiempo no es conformemente plana. Wald le da un teorema por Ashtekar y Hansen que dice que si un spacelike submanifold contiene $i^0$, se admite una métrica que es casi Euclidiana, de modo que, por ejemplo, la espacial Ricci tensor cae como $O(1/r^3)$. Esto implica que no puede haber ningún límite inferior en el tensor de Ricci, pero un FLRW el espacio-tiempo puede tener un límite inferior en una constante de tiempo de división, ya que un sector de constante espaciales de curvatura.

Townsend, http://arxiv.org/abs/gr-qc/9707012

Wald, La Relatividad General

Answer 1

La noción de asintótica planitud de 4 dimensiones se estudió la manera en 1962 por Bondi, van der Burg, Metzner (aquí) y Sachs (aquí) y, más recientemente, por Barnich y Troessaert (los primeros papeles aquí)

Se describe asintótica planitud en términos del Bondi coordenadas, en donde la métrica toma la forma $$ ds^2 = \frac{V}{r} e^{2\beta} du^2 - 2 e^{2\beta} du dr + g_{AB} \left( dx^A - U^du \right) \left( dx^B - U^B du \right) $$ donde $A,B = 2,3$, $x^A = (\theta,\phi)$ y $\det g_{AB} = r^4 \sin^2\theta$. Bondi muestra que cada 4 dimensiones métrica puede ser escrito en el formulario de arriba. Las técnicas desarrolladas más tarde por Penrose demostraron que uno realmente debe establecer una condición más general en $\det g_{AB} = \frac{1}{4} r^4 e^{2 {\tilde\varphi}}$ (siguiente Barnich la notación). Un asintóticamente plano espacio-tiempo, a continuación, cumple con estas condiciones de contorno (en gran $r$)

1. $g_{AB} = r^2 \gamma_{AB} + {\cal O}(r)$ donde $\gamma_{AB}$ es de conformación para la métrica de $S^2$, es decir, $$ \gamma_{AB}dx^dx^B = e^{2\phi(u,\theta,\phi)} \left( d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2 \right) $$

2. $\frac{V}{r} = - 2 r \partial_u {\tilde \varphi} + \Delta {\tilde \varphi} + {\cal O}(r^{-1})$

3. $\beta = {\cal O}(r^{-2})$

4. $U^A = {\cal O}(r^{-2})$

Dada una métrica, su asintótica planitud se puede comprobar mediante la prueba si las condiciones de contorno de la bodega.

EDIT: Esto es una discusión de asintótica planitud en $\mathscr{I}^+$. Un análogo de la discusión que existe para $\mathscr{I}^-$ (simplemente tome $u \to v = u + 2 r$. Para una descripción completa de asintótica planitud, se debe considerar también la estructura del espacio-tiempo en $i^0$. Mientras que esto ha sido discutido en Ashtekar, Hansen, yo no sé mucho acerca de él. Esto se lo dejo a otros miembros para discutir.