¿Para qué valores del entero positivo k es posible dividir los primeros 3k enteros positivos en tres grupos con la misma suma?

Question

Actualmente estoy en un plan de estudios de nivel GCSE-a, y no puedo pensar en ninguna ecuación algebraica que pueda idear para resolver esto (con el plan de estudios de GCSE/principios de nivel A). La pregunta completa es

¿Para qué valores de k entero positivo es posible dividir los primeros 3k enteros positivos en tres grupos con la misma suma? (por ejemplo, si k = 3, entonces los primeros 3k enteros son 1,2,3,4,5,6,7,8,9. Puedes dividir estos en 3 grupos de 15, por ejemplo {{1,2,3,4,5},{7,8},{6,9}}. Así que es posible para k=3)

Cualquier ayuda sería apreciada. Gracias

Answer 1

Cuando era joven... hicimos mucha combinatoria en A-level. Qué lástima que haya desaparecido, es una buena base para muchas matemáticas universitarias.

Este es un buen ejemplo de aplicar el álgebra a la combinatoria. ¡Gracias por la pregunta!

Como punto de partida, considera el caso donde $k$ es par. En este caso, puedes agrupar números para que sumen $k+1$ (y recuerda la historia de Gauss al sumar los números del 1 al 100). El número de pares sigue siendo un múltiplo de 3, ¡así que agrúpalos como quieras!

Luego considera el caso $k=3$. Tienes una solución en tu pregunta, pero hay muchas otras soluciones. ¿Alguna vez has visto el cuadrado mágico?

$$\begin{array}{ccc} 6 & 1 & 8 \\ 7 & 5 & 3 \\ 2 & 9 & 4 \end{array} $$ Hay 2 soluciones aquí, agrupando por fila o columna. Cada fila tiene exactamente un número de cada uno de $\{1,2,3\}$, $\{4,5,6\}$ y $\{7,8,9\}$. Además, tiene exactamente un número de cada resto módulo 3. Lo mismo ocurre con las columnas. Esto garantiza que las sumas sean iguales.

Así que puedes ver que hay varios enfoques para este tipo de problema. ¡Es bueno practicar y explorar!

Bien, para el caso general donde $k$ es impar. Hagamos un ejemplo, con $k = 7$ para ilustrar.

Escribe todos tus números en 3 filas. $$\begin{array}{ccccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 \\ 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 & 21 \end{array} $$ La fila del medio está bien. La fila superior es muy pequeña y la fila inferior es muy grande. Específicamente, necesitamos sumar $49 = 7^2 = k^2$ a la fila superior, y restar lo mismo de la inferior. El enfoque natural es intercambiar elementos.

Si intercambiamos elementos en la misma columna, e.g. 3 y 17, mejoramos nuestra posición en $14 = 2k$. Podemos hacer esto máximo $3 = (k-1)/2$ veces y nos queda $7 = k$. ¡Oh cielos! Eso no funciona del todo, ya que no podemos hacer una diferencia de 7. El reemplazo más pequeño es (7,15) que nos da 8.

Entonces vamos a compensar. Realizamos 2 intercambios con diferencia de 14, uno con 13 y uno con 8. La diferencia 8 tiene que usar (7,15) y nos quedan 5 columnas para encontrar otras diferencias. Así que (6,20), (5,19) y (4,17) funcionarán.

Para $k$ general hacemos $(k-3)/2$ intercambios con diferencia $2k$, un intercambio con diferencia $2k-1$ y el intercambio mínimo tendrá diferencia $k+1$.

Solo para asegurarnos de que nunca nos quedemos sin espacio, el intercambio pequeño utiliza las 2 columnas exteriores. Los intercambios de diferencia $2k$ usan otras $(k-3)/2$ columnas. Necesitamos 2 columnas más para la diferencia $2k-1$.

Por lo tanto, requerimos $$ (k-3)/2 + 4 \le k $$ y esto es válido para $k \ge 5$.

Entonces, no solo esto se puede resolver como se indica para cualquier $k \ge 2$, sino que tenemos una ventaja adicional en que podemos garantizar que todos los grupos tengan el mismo tamaño.

Answer 2

Suponga $ k \ge 2 $ (para $ k = 1 $ no hay solución)

La suma requerida es $$\frac{3k^2+k}{2}$$

La suma de los números $\ k+1,\cdots,2k\ $ es $$k^2+\frac{k(k+1)}{2}=\frac{3k^2+k}{2}$$

En el caso de $k$ par, los números $\ 1,\cdots ,\frac{k}{2}\ $ y los números $\ 2k+\frac{k}{2}+1,\cdots ,3k\ $ juntos tienen la suma requerida, por lo que hemos encontrado particiones posibles.

En el caso de $k$ impar, la suma de los números $\ 1,\cdots,\frac{k+1}{2}\ $ y los números $\ 2k+\frac{k+3}{2},\cdots ,3k$ y el número $k$ es la suma requerida, por lo que hemos encontrado posibles particiones nuevamente.

La clave para calcular las sumas es la fórmula $$\sum_{j=1}^k j =\frac{k(k+1)}{2}$$ y contar el número de "$2k's$" (¡Inténtalo!)

Answer 3

La suma de los primeros $3k$ números es $\frac 12(3k)(3k+1)$, por lo que queremos tres grupos que sumen a $\frac 12k(3k+1)$. Claramente $k=1$ no funciona porque la suma deseada es $2$ y tenemos un $3$ que es demasiado grande. $k=2$ sí funciona ya que tenemos $7=1+6=2+5=3+4$. Intuitivamente, a medida que tenemos más números tenemos más libertad, así que esperamos que funcione. Has mostrado una solución para $k=3$. Ahora nota que cualquier número mayor que $1$ puede ser expresado como una suma de $2$s y $3$s, por lo que podemos separar $3k$ en una suma de corridas de $6$ y $9$. Nuestros ejemplos tienen la característica de que cada grupo es del mismo tamaño, así que podemos agregar una constante a cada entrada y obtener una división de los números de $m$ a $m+5$ o $m+8$ en tres grupos. Cada corrida puede ser tratada como uno de nuestros ejemplos, por lo que el problema puede ser resuelto para todo $k \gt 1$