Cada grupo Abelian admitir una estructura de anillo?

Question

Dado que algunos Abelian grupo $(G, +)$, no siempre existe una operación binaria $*$ tales que $(G, +, *)$ es un anillo? Es decir, $*$ es asociativa y distributiva:

\begin{align*} &a * (b * c) = (a*b) * c \\ &a * (b + c) = a * b + a * c \\ &(a + b) * c = a * c + b * c \\ \end{align*}

También podemos tener identidad multiplicativa $1 \in G$, con $a * 1 = 1 * a = a$ $a \in G$. La multiplicación puede o no puede ser conmutativa.

Dependiendo de la definición, la respuesta podría ser no en el caso del grupo con un solo elemento: $1 = 0$. Pero el trivial anillo no es un caso muy interesante. Para cíclica de los grupos de la declaración es verdad, ya que $(\mathbb{Z}_n, +, \cdot)$ y $(\mathbb{Z}, +, \cdot)$ son ambos anillos. Lo que en general? ¿Hay algún procedimiento para dar arbitraria abelian grupos de estructura de anillo?

Answer 1

Si su grupo tiene la propiedad de que cada elemento tiene orden finito, pero no hay límite en los pedidos de los elementos, entonces no es el aditivo grupo abelian de un anillo con identidad. La razón es que si hubiera una estructura de anillo con una identidad $1$, entonces $1$ tendría finito aditivo orden de $k$, y luego para todo $a$ en su grupo, $k\cdot a=(k\cdot1)=0a=0$, lo que obliga a $a$ a han pedido en más de $k$.

Para cada uno de los prime $p$, el Prüfer $p$grupo $\mathbb Z(p^\infty)$ es un ejemplo de un grupo. El cociente del grupo de $\mathbb Q/\mathbb Z$ es otra. Directo sumas (pero no directa de los productos) de un número infinito finito cíclico grupos de unbounded orden también sería ejemplos.

Answer 2

Hay varios canónica grupo de estructuras que pueden ser equipadas de forma natural en un grupo ; voy a la lista de los que sé que son interesantes, otras personas, quizás se puede añadir algo a la lista.

Finito abelian grupos son isomorfos a producto de finito cíclico de los grupos, de modo que, naturalmente, puede formar un anillo de un producto directo de los anillos finitos. Lo mismo va para finitely generado abelian grupos ; se puede deducir una estructura de anillo de los productos de la base natural de los anillos.

Una estructura de anillo que siempre está ahí será el trivial estructura de anillo, es decir, sólo añadir una multiplicación que no significa nada ; envía todo a la identidad (de $G$). Claramente respeta todos los axiomas de anillo y le da un anillo (sin un anillo de identidad, aunque). No es muy interesante, porque significa que "tenemos una estructura de anillo de $G$, pero no nos dice nada en absoluto acerca de $G$".

Otra estructura de anillo que no siempre tienen sus subyacente abelian grupo isomorfo a $G$, pero es canónicamente definido por $G$ es el endomorfismo anillo de $G$, es decir, vamos a $$ R = \{ \phi : G \G \, | \, \phi \text{ es un grupo endormorphism de } G \text{ a } G \}. $$ Equipar una estructura de anillo en $R$ diciendo que $(R,+, \circ)$ es un anillo definiendo la siguiente : el endomorfismo $\phi_1 + \phi_2$ se define como $$ (\phi_1 + \phi_2)(g) = \phi_1(g) + \phi_2(g) $$ y $$ (\phi_1 \circ \phi_2)(g) = \phi_1(\phi_2(g)). $$ Si $G$ es abelian, entonces usted puede ver fácilmente que la operación $+$ da a un grupo abelian en $R$, debido a la inversa de la endomorfismo $\phi$ será sólo el endomorfismo que envía $g$ a $-\phi(g)$ en vez de $\phi(g)$, de modo que $\phi + (-\phi) = 0_R$. Conmutatividad se deduce del hecho de que $G$ es abelian y las otras propiedades de seguir de forma natural. El hecho de que el $\circ$ operación le da una estructura de anillo viene del hecho de que endomorphisms son, en particular, homomorphisms, por lo que $$ (\phi \circ (\psi_1 + \psi_2))(g) = \phi( \psi_1(g) + \psi_2(g)) = (\phi \circ \psi_1)(g) + (\phi \circ \psi_2)(g) $$ En particular, la identidad de el anillo $R$ sería la identidad endomorfismo de $G$.

Sé que no es exactamente lo que usted pidió (en esta última parte), pero yo no sabía mucho acerca de él al principio, cuando me vio y yo creía que era interesante, así que creo que a ustedes les quieres echar un vistazo.

Espero que ayude,

Answer 3

Cada finito Abelian grupo es un producto finito de grupos cíclicos, por lo que conseguir un anillo de forma gratuita. Del mismo modo, cada finitely generado abelian grupo es isomorfo a algunos ejemplares de $\mathbb{Z}$ veces de un número finito de Abelian grupo, por lo que conseguir un anillo para libre. El único caso interesante restante sería un no-finitely generado Abelian grupo. Hay un par de pasos más que uno probablemente pueda ir, pero no sé cómo podemos conseguir un anillo en general.