Relación

Question

Sea$S(x)$ la suma de los dígitos del número$x$ y$N(x)$ la cantidad de dígitos de$x$ mayor que$4$. Pruebalo $S(2x)=2S(x)-9N(x)$.

Por ejemplo, si$x=1992$ entonces$S(x)=1+9+9+2=21$ y$S(2x)=3+9+8+4=24$ y$N(x)=1+1=2$. Por lo tanto,$24=2\times 21-9\times 2$.

¿Alguien puede mostrar su solución completa? Lamentablemente no tengo ni idea.

Answer 1

Deje $l(x)$ ser la longitud de la representación decimal de $x$. El uso de la inducción en $l(x)$. Supongamos que la identidad tiene por $l(x)\le n$.

Deje $x=10y+r$ donde $l(y)=n$ y $r\in\{0,1,\cdots,9\}$. $S(10z)=z\;\forall\;z$.

Si $r<5\implies N(x)=N(y)$

$$ S(2x)=S(20y+2r)=S(20y)+2r=S(2y)+2r\\ =2S(y)-9N(y)+2r=2(10 años)-9N(x)+2r\\ =2S(10 años+r)-9N(x)=2S(x)-9N(x) $$

Si $r\ge5\implies N(x)=N(y)+1$

$$ S(2x)=S(20y+2r)=S(20y)+2r-9=S(2y)+2r-9\\ =2S(y)-9N(y)+2r-9=2S(10 años)+2r-9N(x)\\ =2S(10 años+r)-9N(x)=2S(x)-9N(x) $$

Answer 2

Teniendo en cuenta que el número de dígitos mayor que $4$$N(x)$, podemos ver el $S(2x)$. Deje que el número de dígitos de $x$$n$. A continuación, el número de dígitos menos de o igual a$4$$n-N(x)$, y los dígitos multiplicados por $2$ son de menos de $10$, por lo que la suma de estos dígitos de $2x$ es simplemente el doble de la suma de estos dígitos de $x$. Si un dígito es mayor que $4$, entonces, ¿qué sucede con la suma de los dígitos cuando se multiplica por $2$? Vemos que, dado un dígito $d>4$, sabemos que, cuando se suma los dígitos de $2x$, el dígito $2d$ (que no es en realidad de un solo dígito, pero eso no es un problema, ya que podemos calcular la suma de los dos dígitos que el resultado de $2d$) $2d-10$ para el último dígito del número y $1$ para la primera, por lo que la suma es $2d-9$. Por lo tanto, ya no se $N(x)$ tal dígitos $d$, $$S(2x)=2S(x)-9N(x)$$

Me doy cuenta de que mis argumentos un poco vago para algunas personas, así que si usted está teniendo problemas para entender mi respuesta, dejar un comentario con lo que la parte que resulta difícil de comprender, y voy a ser muy feliz para editar mi respuesta por lo que puede ser más clara.

Espero que esto ayudó!