Demostrar si $x^3$ es par, entonces $x$ está en paz.

Question

Teorema:
Si $x$ es un número entero positivo y $x^3$ es par, entonces $x$ está en paz.

Mi prueba por contraposición:

I. Asumiendo que $x$ es impar, entonces demostraré que $x^3$ es impar.

II. $x$ es impar, así que $x$ puede expresarse como $2k+1$

III. $(2k+1)^3$

IV. $2k(4k^2 + 6k + 3) +1$

V. Desde $2k(4k^2 + 6k + 3) + 1$ es un número entero, podemos concluir que $x^3$ es impar.

¿He actuado correctamente? El paso V debería decir " $2$ multiplicado por un número entero y sumado por $1$ es impar por lo tanto podemos concluir $x^3$ es impar"?

Answer 1

Se ve bien en general. Algunas cosas puntillosas que señalar:

• En I, debe reiterar el supuesto de que $x$ es un número entero positivo.

• En el II, has introducido una nueva variable. Debe indicar su suposición de que $k$ es un número entero.

• En el III y el IV has escrito algunas expresiones, pero no has comentado qué tienen que ver con la prueba. Deberías relacionarlas con signos de igualdad:

  Por lo tanto, se deduce de I que: $$ x^3 = (2k + 1)^3 = 2k(4k^2+6k+3)+1 $$

• En V, el punto clave de la definición de un entero impar no es que $2k(4k^2+6k+3)+1$ es un número entero, pero que $k(4k^2+6k+3)$ es un número entero. De lo contrario, todos los enteros serían impar.

Answer 2

La idea general es correcta, pero III y IV no son pasos en una prueba - son lados de una igualdad.
En V probablemente se refería a lo correcto (Ya que $k(4k^2+6k+3) =: m$ es un número entero, por lo que $x^3 = 2m+1$ es un entero impar) Para formalizar correctamente tu prueba, escribe algo así

(Lo demostraremos por contraposición...) Ya que $x$ es impar, hay un $k\in\mathbb Z$ tal que $x = 2k+1$ . Así, $$x^3 = (2k+1)^3 = 2\underbrace{k(4k^2+6k+3)}_{\in\mathbb Z} + 1$$ Así que $x^3$ es impar. QED

Answer 3

Su prueba es esencialmente correcta (es decir, que es correcto). Aunque le faltan ciertos niveles de explicación. En primer lugar, haces la suposición (sin pruebas ni afirmaciones) de que un entero es impar o par. A partir de ahí, asumes que si un entero es no impar que es es y, viceversa, si un número entero no incluso entonces es impar.

Haciendo las suposiciones anteriores puede replantear su hipótesis como: Si $x^3$ es incluso entonces $x$ es par (suponiendo ya enteros positivos). La contrapositiva se convierte entonces en si $x$ es no incluso entonces $x^3$ es no incluso. Usted interpreta esto como que si $x$ es impar entonces $x^3$ es impar.

Ahora se asume (lo que se debe asumir) desde el principio que es que $x$ es impar significa que $x = 2\lambda_o + 1$ donde $\lambda_o$ es un número entero y que $y$ es incluso significa que $y = 2\lambda_e$ donde $\lambda_e$ es un número entero. Así que ahora $x = 2\lambda_o + 1 \rightarrow x^3 = 2^3\lambda_o^3 + 24\lambda_o^2 + 6\lambda_o + 1 = 2\lambda_o\left(4\lambda_o^2 + 6\lambda_o + 3\right) + 1$ . Esto hace que $x^3 = 2\lambda_o' + 1$ donde $\lambda_o' = \lambda_o\left(4\lambda_o^2 + 6\lambda_o + 3\right)$ . Por lo tanto, si $x$ es impar entonces $x^3$ es impar.

La razón por la que tu prueba es correcta es que es correcto asumir que si un entero es impar, que es no incluso. Pero sin una prueba (que indique lo que significa ser impar vs. par), lo anterior no funciona y la prueba no es válida.

Aquí hay un contraejemplo rápido que muestra por qué tu prueba es insuficiente (sin demostrar que un entero es siempre o impar o par y nunca ambos). Demuestre lo siguiente: Si $x^3 = 1\ (\text{mod } 13)$ entonces $x = 1\ (\text{mod } 13)$ . Su prueba sería que $x$ hace no igual $x = 1\ (\text{mod } 13)$ Así, por ejemplo $x = 13\lambda_0$ y por lo tanto $x^3 = 13^3\lambda_0^3 = 13 (169\lambda_0^3)$ que, mod $13$ , es igual a $0$ y es no $1$ por lo que la hipótesis original es cierta. Ahora bien, esto es claramente no verdadero ya que $x = 3 = 3\ (\text{mod } 13)$ y $3^3 = 27 = 1\ (\text{mod } 13)$ .

La razón por la que el razonamiento anterior es falso es porque es no es cierto que si $x \neq 1\ (\text{mod } 13)$ que $x = 0\ (\text{mod } 13)$ --que fue el supuesto utilizado para demostrar la hipótesis (inválida). Por lo tanto, sin demostrar que un número entero es siempre o bien impar o incluso, no puedes demostrar tu afirmación. Pero esto es muy puntilloso porque la mayoría de la gente entiende esa suposición y tú la hiciste correctamente.