Encontrar el momento de inercia de un cono: ¿Por qué no puedo integrar así?

Question

Tengo un cono (vértice en $(x,y,z)=0$ ) con altura $H$ y el radio $a$ (radio de la base). Aquí hay una imagen:

Quiero encontrar el momento de inercia alrededor del $z$ -eje utilizando el cálculo. Sé que la integral que tengo que evaluar es : $$I_z={\int \int \int}_V \vec{r}^2 dm$$

Decidí cambiar a coordenadas cilíndricas y mis integrales se convierten:

$$I_z={\int_0^H \int_0^{2\pi} \int_0^{\color{red}{?}}} r^3 dr d \theta dz$$

Como mi radio está cambiando con $z$ Necesito parametrizar $r$ en términos de $z$ . Por triángulos semejantes tenemos $$\frac{a}{H}=\frac{r(z)}{z} \iff r(z)=\frac{a z}{H}$$

Cuando intenté hacer este ejercicio sin ayuda, lo sustituí por $r^3$ con $r(z)^3=\left( \frac{az}{H}\right)^3$ :

$$\implies I_z={\int_0^H \int_0^{2\pi} \int_0^{\color{red}{a}}} \left( \frac{az}{H}\right)^3 dr d \theta dz$$

Sin embargo, esto parece ser incorrecto y sé que la forma correcta de escribir la integral es esta:

$$I_z={\int_0^H \int_0^{2\pi} \int_0^{\color{red}{\frac{az}{H}}}} r^3 dr d \theta dz$$

No entiendo qué es lo que falla en mi método y no entiendo muy bien por qué el límite superior de la integral con respecto a $r$ es $\frac{az}{H}$ ? ¿Por qué no es sólo el radio $a$ de la base? ¿Qué estoy entendiendo mal aquí?

Answer 1

Para una masa diferencial $dm$ el momento de inercia es $r^2dm$ o $\rho r^2dV$ . En coordenadas cilíndricas $dV=r \ dr\ d\varphi \ dz$ . Así que:

$$dI=\rho r^3\ dr\ d\varphi \ dz$$

$$I=\rho\int_0^{2\pi} d\varphi\int_0^H dz\int_0^{az \over H} r^3\ dr$$

¿Por qué tienes que poner $\frac{az}{H}$ como límite superior? Si se pone sólo $a$ en realidad se calcularía el momento de inercia de un cilindro de radio $a$ ¡! Mira el rango de valores que $r$ puede tomar cuando se muda $dm$ dentro del cono. En el nivel $z=0$ la distancia máxima de $dm$ del eje vertical es 0. En el nivel $z=H$ el valor de $r$ varía entre 0 y $a$ . Pero para calcular la integral correctamente, se necesitan límites para $r$ en una posición arbitraria definida por un valor arbitrario de $z$ (siguiente variable en el orden de integración). Para una altura arbitraria $z$ la distancia de $dm$ del eje vertical varía de 0 a $az/H$ y ese es el límite superior de la tercera integral..