Demostrar que$f$ es constante si$|f(x)-f(y)|\leq M|x-y|^\alpha$

Question

Deje$\alpha > 1$ y$M \geq 0$. Supongamos que$f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ satisface$|f(x)-f(y)|\leq M|x-y|^\alpha$ para todos$x, y\in \mathbb{R}$.

¿Cómo podemos probar que$f$ es una función constante? Ni siquiera sé por dónde empezar.

Answer 1

Sugerencia: divide por$|x-y|$. ¿Qué le dice esto sobre el derivado de$f$?

Answer 2

Divida [x, y] en n particiones y use la ecuación del problema, luego use las desigualdades de triángulos para alcanzar esta ecuación:$$|f(x) - f(y)| \leq \frac{M|x - y|^\alpha}{n^{\alpha-1}}$ $ cuando$n\rightarrow \infty $ tenemos:$$\rightarrow f(x) = f(y)$ $

Answer 3

Considere usar el hecho de que$|f(x)-f(y)|\leq \sup_{x<a<y} (|(f'(a)|) (x-y)$.